إذا كان $\log_9 (x-2) = \frac{1}{2}$، فما هو قيمة $\log_{625} x$؟
لنبدأ بحل المعادلة $\log_9 (x-2) = \frac{1}{2}$:
بما أننا نعرف أن $\log_a b = c$ يعني أن $a^c = b$، يمكننا استخدام هذه المعرفة لحل المعادلة.
بالتالي، $\log_9 (x-2) = \frac{1}{2}$ يتحول إلى $9^{\frac{1}{2}} = x – 2$.
ونعرف أن $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$، إذاً المعادلة تصبح $3 = x – 2$.
نضيف 2 إلى الجانبين من المعادلة للحصول على قيمة $x$، فنحصل على $x = 3 + 2 = 5$.
الآن، نحن بحاجة لحساب $\log_{625} x$:
نعرف أن $625 = 5^4$، لذا $\log_{625} x = \frac{\log_5 x}{4}$.
ونعرف أيضاً أن $\log_5 x = \log_5 (x – 2 + 2)$.
باستخدام قاعدة اللوغاريتم، نحصل على $\log_5 (x – 2 + 2) = \log_5 (x – 2) + \log_5 2$.
بما أننا نعلم أن $\log_9 (x-2) = \frac{1}{2}$ و $\log_9 3 = \frac{1}{2}$، نستطيع كتابة $x – 2 = 3$.
إذاً، $\log_5 (x – 2) = \log_5 3$.
وبالتالي، $\log_{625} x = \frac{\log_5 x}{4} = \frac{\log_5 3 + \log_5 2}{4} = \frac{1 + \log_5 2}{4}$.
وهذا هو الحل للمسألة.
المزيد من المعلومات
طبقاً للمسألة المعطاة، نحتاج إلى حل المعادلة $\log_9 (x-2) = \frac{1}{2}$ ومن ثم حساب قيمة $\log_{625} x$.
لنبدأ بحل المعادلة:
القانون المستخدم:
- قانون اللوغاريتم: $\log_a b = c$ يعني أن $a^c = b$.
نستخدم هذا القانون لتحويل المعادلة $\log_9 (x-2) = \frac{1}{2}$ إلى شكل يمكن حله.
من المعادلة المعطاة، نعلم أن $9^{\frac{1}{2}} = 3$، لأن التربيع المربع لـ 3 يساوي 9.
بالتالي، المعادلة تتحول إلى $3 = x – 2$.
نضيف 2 إلى الطرفين لنحصل على قيمة $x$، فتصبح المعادلة $x = 3 + 2 = 5$.
الآن، نحتاج إلى حساب $\log_{625} x$:
القوانين المستخدمة:
- قاعدة اللوغاريتم: $\log_a (b^c) = c \cdot \log_a b$.
نعلم أن $625 = 5^4$، لذا $\log_{625} x = \frac{\log_5 x}{4}$.
ونعلم أيضاً أن $\log_5 x = \log_5 (x – 2 + 2)$.
باستخدام قاعدة اللوغاريتم، نحصل على $\log_5 (x – 2 + 2) = \log_5 (x – 2) + \log_5 2$.
ونستطيع كتابة $x – 2 = 3$ بناءً على المعادلة الأصلية $\log_9 (x-2) = \frac{1}{2}$، فنجد أن $\log_5 (x – 2) = \log_5 3$.
وبالتالي، $\log_{625} x = \frac{\log_5 x}{4} = \frac{\log_5 3 + \log_5 2}{4} = \frac{1 + \log_5 2}{4}$.
هذا هو الحل الشامل للمسألة، حيث استخدمنا قوانين اللوغاريتم وقوانين الأسس لحساب قيمة $\log_{625} x$ باستخدام القيمة التي تم حسابها لـ $x$.