حساب الكميات: فهم قاعدة الكميات المتبقية (مسألة رياضيات)

قيمة التعبير 100P2 تعني عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 2 عنصر من بين 100 عنصر، وذلك بدون تكرار ولا اعتبار لترتيب العناصر المختارة. يمكن حساب هذه القيمة باستخدام صيغة الكميات المتبقية، والتي تعطى بواسطة:

$P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$

حيث $n!$ هو عامل القسمة ويمثل الضرب من 1 إلى n.

للقيمة المعنية، حينها:

$P(100, 2) = \frac{100!}{(100-2)!}$

الآن سنقوم بحساب هذه القيمة:

$P(100, 2) = \frac{100!}{98!}$

$= \frac{100 \times 99 \times 98!}{98!}$

$= 100 \times 99$

$= 9900$

لذا، قيمة 100P2 هي 9900.

لحل مسألة قيمة $100P2$، يمكننا استخدام قاعدة حساب الكميات المتبقية. هذه القاعدة تقول إن عدد الطرق التي يمكن بها اختيار $k$ عنصر من بين مجموعة من $n$ عناصر، دون تكرار وبدون اعتبار للترتيب، يمكن حسابها باستخدام الصيغة:

$P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$

حيث $n!$ تعبر عن عامل القسمة ويمثل الضرب من 1 إلى $n$. في هذه الحالة، $n$ هو عدد العناصر الكلي (100)، و$k$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها (2).

بما أننا نستخدم قاعدة الكميات المتبقية، فإن الحل يكون كالتالي:

$P(100, 2) = \frac{100!}{(100-2)!}$

الآن سنوضح الخطوات بالتفصيل:

1. حساب $100!$، وهو الضرب من 1 إلى 100.
2. حساب $(100-2)!$، وهو الضرب من 1 إلى 98.
3. قسمة نتيجة الخطوة 1 على نتيجة الخطوة 2.

بتنفيذ هذه الخطوات، نحصل على:

$P(100, 2) = \frac{100!}{98!}$

وبتبسيط هذه الكسور، نحصل على:

$= \frac{100 \times 99 \times 98!}{98!}$

العوامل $(98!)$ تُختصر، ونبقى بالنهاية مع:

$= 100 \times 99$

وهو يساوي 9900.

القوانين المستخدمة في هذا الحل تعتمد على فهم قاعدة الكميات المتبقية واستخدام عامل القسمة في حساب الكميات.