تريد حساب قيمة $i^{22} + i^{222}$، حيث أن $i$ هو العدد التخيلي والذي يشير إلى جذر الوحدة الخيالي، والذي يُعرف بأنه مربع للعدد $\sqrt{-1}$.
لحل هذه المسألة، يمكن استخدام الخاصية الأساسية للعدد التخيلي حيث يتم تحديد الدورة التي تتكرر فيها قيمة العدد التخيلي. يتم تمثيل دورة العدد التخيلي بشكل دائري، حيث يبدأ الدوران من الوحدة الحقيقية ويمر بالوحدة الخيالية، وبعدها الوحدة السالبة، وأخيرًا الوحدة الخيالية مجددًا.
بما أن دورة العدد التخيلي تتكرر كل 4 مرات، فإننا نلاحظ أن قيمة $i^1$ تساوي الوحدة الخيالية، $i^2$ تساوي $-1$، $i^3$ تساوي السالب الخيالي، و $i^4$ تساوي الوحدة الحقيقية.
بالتالي، يمكننا توقع الأنماط في تسلسل الأسس للعدد التخيلي، حيث إذا قمنا بقسمة الأسس على 4، فإن الباقي سيحدد القيمة. على سبيل المثال، $i^{22}$، الباقي عند قسمة 22 على 4 هو 2، لذا قيمة $i^{22}$ هي نفس قيمة $i^2$ والتي تساوي $-1$. وبالمثل، $i^{222}$ يتبقى له باقي 2 عند القسمة على 4، لذا قيمتها مثل قيمة $i^{22}$.
الآن، بما أن $i^{22} = -1$ و $i^{222} = -1$، يكون المجموع كالتالي:
إذاً، قيمة التعبير $i^{22} + i^{222}$ هي $-2$.
المزيد من المعلومات
لحساب قيمة $i^{22} + i^{222}$، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والخصائص المتعلقة بالأعداد التخيلية والأسس. هنا سأقدم تفاصيل أكثر عن القوانين المستخدمة وكيف تم حل المسألة:
-
العدد التخيلي $i$: هو جذر الوحدة الخيالية ويُعرف بأنه $\sqrt{-1}$.
-
قوانين الأسس للعدد التخيلي:
- $i^1 = i$
- $i^2 = -1$
- $i^3 = -i$
- $i^4 = 1$
- وبما أن دورة العدد التخيلي تتكرر كل 4 مرات، فإنه من الممكن استنتاج الأسس التالية بناءً على ذلك.
-
قسمة الأسس على 4: لتحديد النمط الذي يتكرر في تسلسل الأسس، يمكن قسمة الأس المرادة على 4، حيث يكون الباقي هو المحدد للقيمة.
-
تطبيق القوانين في حل المسألة:
- $i^{22}$: باقي قسمة 22 على 4 يساوي 2، لذا $i^{22}$ يكون مثل $i^2$ والذي يساوي $-1$.
- $i^{222}$: باقي قسمة 222 على 4 يساوي 2 أيضًا، لذا $i^{222}$ يكون مثل $i^2$ والذي يساوي $-1$.
إذاً،
باختصار، تم استخدام قوانين الأسس للعدد التخيلي وفهم دورة تكرار القيم في حساباتنا. بتطبيق هذه القوانين، تم حساب قيمة $i^{22} + i^{222}$ بسهولة ودقة.