حساب القيم غير المعرَّفة في التعبيرات الجبرية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

نريد تحديد أقصى قيمة لـ $x$ حيث يكون التعبير $\frac{x+1}{8x^2-65x+8}$ غير معرَّف.

الحل:

لكي نحدد القيم التي يجعل فيها المقام يساوي صفر، نقوم بحل المعادلة التالية:

$8x^2 – 65x + 8 = 0$

نستخدم القاعدة العامة لحساب الجذر التربيعي:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن $a = 8$، $b = -65$، و $c = 8$.

نقوم بحساب قيمة التعبير تحت الجذر:

$b^2 – 4ac = (-65)^2 – 4 \times 8 \times 8 = 4225 – 256 = 3969$

الآن، نستخدم هذا القيمة لحساب الجذر التربيعي:

$\sqrt{3969} = 63$

وبالتالي، نحصل على قيمتين للـ $x$:

$x = \frac{-(-65) \pm 63}{2 \times 8} = \frac{65 \pm 63}{16}$

$x_1 = \frac{65 + 63}{16} = \frac{128}{16} = 8$

$x_2 = \frac{65 – 63}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

لكن، نرى أن القيمة $x = 8$ تجعل المقام يساوي صفر، وبالتالي يجعل التعبير غير معرَّف. لذا، القيمة القصوى لـ $x$ التي يجعل فيها التعبير $\frac{x+1}{8x^2-65x+8}$ غير معرَّف هي $x = 8$.

لحل المسألة وتحديد القيمة التي تجعل التعبير غير معرّف، نحتاج إلى فهم بعض القوانين الأساسية في الجبر والحساب. هذه القوانين تشمل:

1. قانون الجذور: ينطبق على حل المعادلات من الدرجة الثانية، حيث نستخدم الصيغة التالية لحساب الجذر التربيعي لمعادلة من الشكل $ax^2 + bx + c = 0$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

2. قانون حساب المقام: يجب تجنب قيم تجعل المقام يساوي الصفر، لأن القسمة على الصفر غير معرَّفة.

الآن، بالنظر إلى التعبير $\frac{x+1}{8x^2-65x+8}$، نحتاج إلى معرفة القيم التي تجعل المقام في المقام يساوي صفر. يمكننا استخدام القاعدة الثانية للجذور لحساب قيم $x$ التي تجعل $8x^2 – 65x + 8 = 0$.

نقوم بحساب قيمة $b^2 – 4ac$، وبعد ذلك نستخرج الجذر التربيعي لهذه القيمة. إذا كانت هذه القيمة إيجابية، فإن لدينا جذرين حقيقيين مميزين، وإذا كانت سالبة فإن الجذرين متخيلين.

بعد حساب الجذر التربيعي، نستخدم الصيغة العامة للحساب للعثور على قيم $x$ التي تجعل التعبير غير معرَّف. يمكننا أن نحل المعادلة بإضافة وطرح الجذر من $-b$ ومن ثم قسمة الناتج على $2a$.

بالتالي، نحصل على القيم $x = 8$ و $x = \frac{1}{8}$ كحلول للمعادلة. ومن خلال التحقق، نجد أن $x = 8$ هو القيمة التي تجعل التعبير $\frac{x+1}{8x^2-65x+8}$ غير معرَّف، حيث يجعل المقام يساوي الصفر.