حساب القيمة بالجبر: تحليل مسألة رياضية

المسألة الرياضية التي قدمتها تتعلق بحساب قيمة عدد معين وهو الرقم العاشر بعد الفاصلة العشرية لناتج التعبير:

$\frac{{5! \times 4! \times 4! – 5! \times 4! \times 3!}}{{2880}}$

لحل هذه المسألة، يجب أولاً أن نحسب القيم الفردية لكل عامل في التعبير.

لنحسب قيمة $5!$ (5 فاكتوريال):

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

ثم نحسب قيمة $4!$ (4 فاكتوريال):

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

الآن، يمكننا استخدام هذه القيم لحساب القيم الفردية للعوامل في التعبير:

$5! \times 4! \times 4! = 120 \times 24 \times 24 = 69,120$

$5! \times 4! \times 3! = 120 \times 24 \times 6 = 17,280$

ثم نقوم بطرح القيمتين:

$69,120 – 17,280 = 51,840$

أخيرًا، نقوم بقسم هذا الناتج على 2880:

$\frac{{51,840}}{{2880}} = 18$

إذاً، الرقم العاشر بعد الفاصلة العشرية في ناتج التعبير هو 8.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكثر، نستخدم القوانين الرياضية وخاصة في الجبر والحساب. لنتابع الحل خطوة بخطوة:

التعبير المعطى هو:

$\frac{{5! \times 4! \times 4! – 5! \times 4! \times 3!}}{{2880}}$

أولاً، نقوم بحساب القيم الفردية للعوامل في التعبير:

1. $5!$ هو حاصل ضرب الأعداد من 1 إلى 5، وهو يساوي $120$.
2. $4!$ هو حاصل ضرب الأعداد من 1 إلى 4، وهو يساوي $24$.

الآن، نقوم بحساب قيمة العبارة التي تحتوي على هذه العوامل:

$5! \times 4! \times 4! = 120 \times 24 \times 24 = 69,120$

ثم نقوم بحساب القيمة الفردية للعامل الثاني:

$5! \times 4! \times 3! = 120 \times 24 \times 6 = 17,280$

الآن، نقوم بطرح القيمتين:

$69,120 – 17,280 = 51,840$

أخيرًا، نقسم الناتج على العدد $2880$:

$\frac{{51,840}}{{2880}} = 18$

القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل قوانين الجبر مثل قوانين الضرب والقسمة، وتطبيق قوانين حساب المجموعات والطرح. أيضًا، تم استخدام مفهوم الفاكتوريال في حساب القيم الفردية.