التعبير الرياضي هو:
( 1 − 1 2 ) ( 1 − 1 3 ) ( 1 − 1 4 ) ⋯ ( 1 − 1 n + 1 ) ⋯ ( 1 − 1 100 ) ( 1 − 1 2 ) ( 1 − 1 3 ) ( 1 − 1 4 ) ⋯ ( 1 − 1 99 ) ( 1 − 1 100 ) \frac{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})\dotsm(1-\frac{1}{n+1})\dotsm(1-\frac{1}{100})}
{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})\dotsm(1-\frac{1}{99})(1-\frac{1}{100})} ( 1 − 2 1 ) ( 1 − 3 1 ) ( 1 − 4 1 ) ⋯ ( 1 − 99 1 ) ( 1 − 100 1 ) ( 1 − 2 1 ) ( 1 − 3 1 ) ( 1 − 4 1 ) ⋯ ( 1 − n + 1 1 ) ⋯ ( 1 − 100 1 ) الحل:
نقوم بتبسيط التعبير عن طريق إلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام:
( 1 − 1 2 ) ( 1 − 1 3 ) ( 1 − 1 4 ) ⋯ ( 1 − 1 n + 1 ) ⋯ ( 1 − 1 100 ) ( 1 − 1 2 ) ( 1 − 1 3 ) ( 1 − 1 4 ) ⋯ ( 1 − 1 99 ) ( 1 − 1 100 ) \frac{\cancel{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})\dotsm(1-\frac{1}{n+1})}\dotsm\cancel{(1-\frac{1}{100})}}
{\cancel{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})\dotsm(1-\frac{1}{99})}\cancel{(1-\frac{1}{100})}} ( 1 − 2 1 ) ( 1 − 3 1 ) ( 1 − 4 1 ) ⋯ ( 1 − 99 1 ) ( 1 − 100 1 ) ( 1 − 2 1 ) ( 1 − 3 1 ) ( 1 − 4 1 ) ⋯ ( 1 − n + 1 1 ) ⋯ ( 1 − 100 1 ) تتساوى العديد من العوامل وتُبسط، ونحصل على:
1 2 ⋅ 2 3 ⋅ 3 4 ⋅ ⋯ ⋅ n + 1 n + 2 ⋅ ⋯ ⋅ 99 100 \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \dotsm \cdot \frac{\cancel{n+1}}{\cancel{n+2}} \cdot \dotsm \cdot \frac{\cancel{99}}{\cancel{100}} 2 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 3 ⋅ ⋯ ⋅ n + 2 n + 1 ⋅ ⋯ ⋅ 100 99 يُلاحظ أن جميع العوامل تتساوى وتُبسط، وبالتالي القيمة النهائية هي:
بالطبع، دعنا نقم بفحص التفاصيل الخاصة بحل هذه المسألة الحسابية باستخدام القوانين الرياضية المناسبة. لنقم بتفصيل الحل:
التعبير الذي نريد حساب قيمته هو:
( 1 − 1 2 ) ( 1 − 1 3 ) ( 1 − 1 4 ) ⋯ ( 1 − 1 n + 1 ) ⋯ ( 1 − 1 100 ) ( 1 − 1 2 ) ( 1 − 1 3 ) ( 1 − 1 4 ) ⋯ ( 1 − 1 99 ) ( 1 − 1 100 ) \frac{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})\dotsm(1-\frac{1}{n+1})\dotsm(1-\frac{1}{100})}
{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})\dotsm(1-\frac{1}{99})(1-\frac{1}{100})} ( 1 − 2 1 ) ( 1 − 3 1 ) ( 1 − 4 1 ) ⋯ ( 1 − 99 1 ) ( 1 − 100 1 ) ( 1 − 2 1 ) ( 1 − 3 1 ) ( 1 − 4 1 ) ⋯ ( 1 − n + 1 1 ) ⋯ ( 1 − 100 1 ) الخطوة الأولى في الحل تكمن في إلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام. نستخدم خاصية إلغاء العوامل المتشابهة. تُستبدل العوامل المشتركة بـ 1، ونقوم بإلغاء العوامل المشتركة في كل تكرار:
( 1 − 1 2 ) ( 1 − 1 3 ) ( 1 − 1 4 ) ⋯ ( 1 − 1 n + 1 ) ⋯ ( 1 − 1 100 ) ( 1 − 1 2 ) ( 1 − 1 3 ) ( 1 − 1 4 ) ⋯ ( 1 − 1 99 ) ( 1 − 1 100 ) \frac{\cancel{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})\dotsm(1-\frac{1}{n+1})}\dotsm\cancel{(1-\frac{1}{100})}}
{\cancel{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})\dotsm(1-\frac{1}{99})}\cancel{(1-\frac{1}{100})}} ( 1 − 2 1 ) ( 1 − 3 1 ) ( 1 − 4 1 ) ⋯ ( 1 − 99 1 ) ( 1 − 100 1 ) ( 1 − 2 1 ) ( 1 − 3 1 ) ( 1 − 4 1 ) ⋯ ( 1 − n + 1 1 ) ⋯ ( 1 − 100 1 ) نحصل على:
1 2 ⋅ 2 3 ⋅ 3 4 ⋅ ⋯ ⋅ n + 1 n + 2 ⋅ ⋯ ⋅ 99 100 \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \dotsm \cdot \frac{\cancel{n+1}}{\cancel{n+2}} \cdot \dotsm \cdot \frac{\cancel{99}}{\cancel{100}} 2 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 3 ⋅ ⋯ ⋅ n + 2 n + 1 ⋅ ⋯ ⋅ 100 99 في هذه المرحلة، نستخدم خاصية إلغاء العوامل المتشابهة مرة أخرى، حيث تتساوى جميع العوامل المشتركة وتُبسط. نحصل على:
تم استخدام القوانين التالية في هذا الحل:
خاصية إلغاء العوامل المشتركة: يمكن إلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام لتبسيط التعبير.ضرب الكسور: عند ضرب الكسور، يمكن إلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام.
