حساب القيمة المتوقعة: مسألة النرد الأوكتاهيدري (مسألة رياضيات)

نريد حساب القيمة المتوقعة لرمي قطعة النرد الأوكتاهيدرية العادلة. قطعة النرد هذه لها 8 وجوه مرقمة من X إلى 8. لحساب القيمة المتوقعة، نحتاج إلى جمع قيم كل الوجوه الممكنة وقسمتها على عددها الإجمالي.

القيم الممكنة التي يمكن أن تظهر على قطعة النرد هي: X, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

إذاً، القيمة المتوقعة = (X + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) / 8

نعلم أن القيمة المتوقعة هي 4.5، لذا:

4.5 = (X + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) / 8

نضرب الجانبين في 8 لنتخلص من المقام في المعادلة:

4.5 * 8 = X + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

36 = X + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

نجمع الأعداد من 2 إلى 8:

36 = X + 35

نطرح 35 من الطرفين:

X = 36 – 35

X = 1

إذاً، القيمة المجهولة X هي 1.

لحل مسألة القيمة المتوقعة لرمي قطعة النرد الأوكتاهيدرية، نحتاج إلى فهم بعض القوانين الأساسية في الاحتمالات والإحصاء.

1. القيمة المتوقعة (Expected Value): هي قيمة متوسطة متوقعة لنتائج عملية ما تحت ظروف معينة. تُحسب القيمة المتوقعة عن طريق ضرب كل قيمة ممكنة بالاحتمالية لحدوثها ثم جمع الناتجات.

2. قواعد الإحصاء:

   • لحساب الاحتمالية لحدوث حدث معين، نقوم بتقسيم عدد النتائج المحتملة التي تؤدي إلى حدوث الحدث على عدد النتائج المحتملة ككل.
   • قواعد الجمع والضرب في الاحتمالات: إذا كانت الحوادث متفرقة بحيث لا تتأثر بعضها ببعض، يمكننا جمع أو ضرب الاحتمالات لحدوثها.

الآن، لنقوم بحساب القيمة المتوقعة لرمي النرد الأوكتاهيدري. النرد لديه 8 وجوه مرقمة من X إلى 8، حيث يمكن أن تظهر أي من هذه القيم عند الرمي.

لحساب القيمة المتوقعة، نقوم بجمع قيم كل الوجوه الممكنة وقسمتها على عددها الإجمالي.

الوجوه الممكنة: X, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

الآن نحتاج إلى حساب المتوسط، والذي يكون مجموع القيم مقسومًا على عددها. في هذه الحالة، يكون المتوسط هو:

$\text{المتوسط} = \frac{X + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8}{8}$

ونحن نعلم أن القيمة المتوقعة هي 4.5، لذا يمكننا حل المعادلة:

$4.5 = \frac{X + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8}{8}$

بضرب الجانبين في 8، نحصل على:

$4.5 \times 8 = X + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8$

$36 = X + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8$

$36 = X + 35$

$X = 36 – 35$

$X = 1$

إذاً، القيمة المجهولة X هي 1.