حساب القيمة المتوقعة للنرد الغير عادل (مسألة رياضيات)

نمتلك قائمة من ستة أوجه لنرميها، ولكن النرد غير عادل. فاحتمالية الحصول على الرقم 6 هي $\frac{1}{2}$ بينما الاحتمالية للحصول على أي رقم آخر هي $\frac{1}{10}$.

نريد حساب القيمة المتوقعة للرقم الذي سيظهر عندما يتم إلقاء هذا النرد.

لحساب القيمة المتوقعة، نقوم بضرب كل رقم بالاحتمالية المقابلة لظهوره، ثم نجمع جميع الناتجات.

للأرقام من 1 إلى 5، فإن الاحتمالية لظهور كل منها هي $\frac{1}{10}$، لذا قيمة كل منها هي $1 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$.

للرقم 6، فإن الاحتمالية لظهوره هي $\frac{1}{2}$، لذا قيمته هي $6 \times \frac{1}{2} = 3$.

الآن نقوم بجمع هذه القيم المتوقعة:
$E(X) = \frac{1}{10} \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + \frac{1}{2} \times 6$

$E(X) = \frac{1}{10} \times 15 + \frac{1}{2} \times 6$

$E(X) = \frac{15}{10} + \frac{6}{2}$

$E(X) = 1.5 + 3$

$E(X) = 4.5$

لذا، القيمة المتوقعة للرقم المظهر عند إلقاء النرد هي 4.5.

لحل المسألة، سنستخدم مفهوم القيمة المتوقعة والقوانين الرياضية المتعلقة بها. القيمة المتوقعة هي مقدار متوسط يمثل قيمة متوقعة لنتائج متعددة لتجربة عشوائية. يتم حساب القيمة المتوقعة عن طريق ضرب كل قيمة محتملة بالاحتمالية المقابلة لظهورها ثم جمع الناتجات.

في هذه المسألة، لدينا نرد غير عادل بستة أوجه. القوانين المستخدمة هي:

1. قانون الاحتمالات: يحدد الاحتمالية لكل نتيجة محتملة.
2. قيمة متوقعة لمتغير عشوائي: يتم حسابها عن طريق ضرب كل قيمة محتملة بالاحتمالية المقابلة وجمع الناتجات.

الخطوات لحل المسألة:

1. تحديد الاحتماليات: نعلم أن الاحتمالية للحصول على 6 هي $\frac{1}{2}$، والاحتمالية للحصول على أي رقم آخر هي $\frac{1}{10}$.
2. حساب القيم المتوقعة: نضرب كل قيمة محتملة بالاحتمالية المقابلة ونجمع الناتجات.
3. الجمع والضرب: نجمع جميع الناتجات للحصول على القيمة المتوقعة النهائية.

التفاصيل الإضافية تشمل تحديد كل قيمة محتملة واحتمالية ظهورها، وهي:

• 1, 2, 3, 4, 5: احتمالية ظهور كل واحدة منها هي $\frac{1}{10}$.
• 6: احتمالية ظهور الرقم 6 هي $\frac{1}{2}$.

بعد ذلك، نقوم بضرب كل رقم بالاحتمالية المقابلة وجمع الناتجات:

$E(X) = \frac{1}{10} \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + \frac{1}{2} \times 6$

$E(X) = \frac{1}{10} \times 15 + \frac{1}{2} \times 6$

$E(X) = \frac{15}{10} + \frac{6}{2}$

$E(X) = 1.5 + 3$

$E(X) = 4.5$

لذا، القيمة المتوقعة للرقم المظهر عند إلقاء النرد هي 4.5.