حساب القيمة الدنيا باستخدام توسيع الربعية (مسألة رياضيات)

لنكن $a,$ $b,$ و$t$ أعدادًا حقيقية حيث $a + b = t.$ يطلب منا إيجاد القيمة الدنيا، بالنسبة لـ $t,$ للتعبير $a^2 + b^2.$

حسنًا، لنحل هذه المسألة الرياضية. نعلم أن:
\begin{align*}
a + b &= t
\end{align*}

نريد إيجاد الحد الأدنى للمتغيرين $a$ و $b$ عندما يكون مجموعهما $t.$ للتبسيط، لنقم بحساب $a^2 + b^2$:
\begin{align*}
a^2 + b^2 &= (a + b)^2 – 2ab \
&= t^2 – 2ab
\end{align*}

يظهر أننا بحاجة إلى حساب $ab$ لنحسن تقديرنا. لدينا المعادلة $a + b = t.$ إذاً:
\begin{align*}
b &= t – a
\end{align*}

الآن نستخدم هذا في معادلة $ab$:
\begin{align*}
ab &= a(t – a) \
&= at – a^2
\end{align*}

الآن نستخدم هذه القيمة في التعبير $t^2 – 2ab$:
\begin{align*}
t^2 – 2ab &= t^2 – 2(at – a^2) \
&= t^2 – 2at + 2a^2
\end{align*}

التعبير النهائي هو:
$t^2 – 2at + 2a^2$

الخطوة التالية هي البحث عن القيمة الدنيا لهذا التعبير. يمكننا فعل ذلك بحساب النقطة الثابتة للدالة، والتي تحدث عندما تكون مشتقتها الأولى تساوي صفرًا:
\begin{align*}
\frac{d}{da} (t^2 – 2at + 2a^2) &= -2t + 4a
\end{align*}

لحساب القيمة المحلية للحد الأدنى، نجعل المشتقة تساوي صفر:
\begin{align*}
-2t + 4a &= 0 \
4a &= 2t \
a &= \frac{t}{2}
\end{align*}

الآن نستخدم قيمة $a$ هذه في التعبير الأصلي:
\begin{align*}
t^2 – 2at + 2a^2 &= t^2 – 2 \left(\frac{t}{2}\right)t + 2 \left(\frac{t}{2}\right)^2 \
&= t^2 – t^2 + \frac{t^2}{2} \
&= \frac{t^2}{2}
\end{align*}

لذلك، القيمة الدنيا لـ $a^2 + b^2$ هي $\frac{t^2}{2}.$

لنحل هذه المسألة، سنستخدم الجبر والتفاضل، مع الالتفات إلى بعض القوانين المهمة.

المسألة تطلب إيجاد القيمة الدنيا للتعبير $a^2 + b^2$ عندما $a + b = t.$ أولاً وقبل كل شيء، لنذكر قاعدة هامة في الجبر:

قاعدة توسيع الربعية:
$(x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2$

الآن، لنبدأ في حساب التعبير $a^2 + b^2$ باستخدام المعلومة الأساسية $a + b = t.$

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab$

نستخدم القاعدة التوسيعية هنا:

$a^2 + b^2 = t^2 – 2ab$

الخطوة التالية تتضمن حساب $ab.$ نستخدم المعادلة $a + b = t$ للحصول على $b$ بالنسبة لـ $a$:

$b = t – a$

ثم نستخدم هذا في تعبير $ab$:

$ab = a(t – a) = at – a^2$

الآن، نستخدم هذه القيمة في التعبير الأصلي:

$a^2 + b^2 = t^2 – 2(at – a^2) = t^2 – 2at + 2a^2$

الخطوة التالية هي البحث عن القيمة المحلية للحد الأدنى. نقوم بحساب مشتقة التعبير بالنسبة لـ $a$:

$\frac{d}{da} (t^2 – 2at + 2a^2) = -2t + 4a$

ثم نجعل هذه المشتقة تساوي صفرًا للعثور على القيمة المحلية للحد الأدنى:

$-2t + 4a = 0 \implies 4a = 2t \implies a = \frac{t}{2}$

الآن، نستخدم قيمة $a$ هذه في التعبير الأصلي:

$t^2 – 2at + 2a^2 = t^2 – t^2 + \frac{t^2}{2} = \frac{t^2}{2}$

لذلك، القيمة الدنيا لـ $a^2 + b^2$ هي $\frac{t^2}{2}.$

القوانين المستخدمة في هذا الحل:

1. قاعدة توسيع الربعية: $(x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2$
2. قاعدة الجمع في الجبر: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
3. قاعدة حساب مشتقة الدالة: $\frac{d}{da} (a^n) = na^{n-1}$