حساب القوة السادسة للعدد المركب (مسألة رياضيات)

نريد حساب ناتج رفع $(2 \cos 20^\circ + 2i \sin 20^\circ)$ إلى القوة 6 وتعبير الناتج بالشكل المستطيلي.

أولاً، يجبنا معرفة كيفية ترميز $(2 \cos 20^\circ + 2i \sin 20^\circ)$ بشكل مستطيلي. هنا نستخدم العلاقة التالية:

حيث تكون \text{cis}(\theta) التعبير المعقول للعدد المركب.

لذلك، $2 \cos 20^\circ + 2i \sin 20^\circ$ يمكن تمثيله بشكل مستطيلي على النحو التالي:

الآن، نستخدم خاصية التوزيع للقوى:

وهنا نعلم أنه لرفع \text{cis}(\theta) إلى القوة n، نقوم برفع النسبة المطلقة إلى القوة n ونضرب الزاوية بالقوة n، لذلك:

لذلك:

الآن نقوم بحساب الناتج:

و:

لذلك، الناتج يكون:

الآن، نحتاج إلى تحويل هذا الناتج إلى الشكل المستطيلي، لنستخدم المعادلات التالية:

حيث تمثل \text{Re}() الجزء الحقيقي و\text{Im}() الجزء الخيالي.

نعرف أن:

لذلك، الناتج يمكن تعبيره بالشكل المستطيلي على النحو التالي:

وهذا هو الناتج النهائي.

بالطبع، دعني أوضح الحل بشكل أكثر تفصيلاً مع ذكر القوانين المستخدمة في الحل.

المسألة تتطلب حساب القيمة التي تنتج عن رفع $(2 \cos 20^\circ + 2i \sin 20^\circ)$ إلى القوة 6 وتعبير الناتج بالشكل المستطيلي.

1. تمثيل العدد المركب بشكل مستطيلي:
   نبدأ بتمثيل $(2 \cos 20^\circ + 2i \sin 20^\circ)$ بشكل مستطيلي. هنا نستخدم العلاقة الأساسية في الجبر المركب، حيث يكون:

   $$\cos \theta + i \sin \theta = \text{cis}(\theta)$$

   وهذا يعني أن العدد المركب $2 \cos 20^\circ + 2i \sin 20^\circ$ يمكن تمثيله بشكل مستطيلي على شكل $2 \text{cis}(20^\circ)$.

2. خاصية التوزيع للقوى:
   طبقنا خاصية التوزيع للقوى حيث:

   $$(2 \text{cis}(20^\circ))^6 = 2^6 \text{cis}(6 \cdot 20^\circ)$$

   وهذا يأتي من قاعدة قوة الأس المتساوية بشرط أن الأساس يكون متشابه.

3. تحويل الناتج إلى شكل مستطيلي:
   بعد حساب القيمة الجديدة للناتج، نحتاج إلى تحويله إلى الشكل المستطيلي. هنا، نستخدم العلاقات التالية:

   $$\cos \theta = \text{Re}(\text{cis}(\theta))$$
   $$\sin \theta = \text{Im}(\text{cis}(\theta))$$

   حيث يتم تحديد الجزء الحقيقي والجزء الخيالي للعدد المركب.

باختصار، استخدمنا قوانين الجبر المركب وخاصية التوزيع للقوى والتحويل من الشكل الجبري إلى الشكل المستطيلي لحل المسألة.