حساب القسمة العكسية في الحساب المتسلسل (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة التعبير التالي: $3^{-1} + 3^{-2} \pmod{25}$.

المعادلة $3^{-1}$ تمثل العدد المعكوس للعدد $3$ في الحساب المتسلسل، وهو يساوي $\frac{1}{3}$.

بالتالي:
$3^{-1} = \frac{1}{3}$

أما $3^{-2}$ فيعني العدد المعكوس لتربيع $3$، أي $\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

الآن، يجب علينا حساب القيم العددية لهذين العددين وإضافتهما ثم حساب الباقي عند القسمة على $25$.

الآن سنجمع القيمتين:
$9 + 16 = 25$

وبما أن $25$ أكبر من $25$، فإن الباقي هو $25 – 25 = 0$.

لذلك، قيمة التعبير $3^{-1} + 3^{-2} \pmod{25}$ تساوي $0$.

لحل مسألة $3^{-1} + 3^{-2} \pmod{25}$، سنستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم في الحساب المتسلسل والحساب النظري. سنقوم بتحويل كل تعبير إلى أشكال تسهل علينا الحساب وتمكننا من إيجاد الباقي عند القسمة على $25$.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. العدد المعكوس في الحساب المتسلسل: إذا كان $a^{-1}$ هو العدد المعكوس للعدد $a$، فإن $a \times a^{-1} = 1$.

2. قوانين القوى السالبة: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

3. الباقي عند القسمة: نحتاج إلى حساب الباقي عند القسمة للتعبير النهائي.

الآن دعونا نقوم بحساب كل تعبير على حدة:

أولاً، $3^{-1}$:
$3^{-1} = \frac{1}{3}$

بما أننا نريد الباقي عند القسمة على $25$، فسنحسب $\frac{1}{3} \pmod{25}$.

نلاحظ أن $\frac{1}{3} \times 3 = 1$، لذا يمكننا أن نقول:
$3^{-1} \equiv 9 \pmod{25}$

ثانيًا، $3^{-2}$:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

ونلاحظ أن $\frac{1}{9} \times 9 = 1$، لذا:
$3^{-2} \equiv 16 \pmod{25}$

الآن، نقوم بجمع القيمتين:
$9 + 16 = 25$

وبما أن $25$ أكبر من $25$، فإن الباقي هو $25 – 25 = 0$.

لذا، قيمة التعبير $3^{-1} + 3^{-2} \pmod{25}$ تساوي $0$.