حساب القاسم المشترك الأكبر: تحليل عوامل العددين (مسألة رياضيات)

العثور على القاسم المشترك الأكبر بين $5!$ و$\frac{8!}{3!}$ والتعبير عن الإجابة بشكل عددي.

المسألة:
احسب القاسم المشترك الأكبر بين $5!$ و $\frac{8!}{3!}$ وقدم الإجابة بصورة عددية.

الحل:
لنبدأ بحساب قيمة $5!$:
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

الآن، دعونا نحسب قيمة $\frac{8!}{3!}$:
$\frac{8!}{3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1}$

نقوم بإلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام:
$\frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4$

الآن، لنحسب القاسم المشترك الأكبر بين $5!$ و$\frac{8!}{3!}$، نقوم بمقارنة الأعداد ونراعي أصغر الأسس والأضعاف المشتركة:
$\text{GCD}(5!, \frac{8!}{3!}) = \text{GCD}(120, 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4)$

نبدأ بتحليل العوامل الأولية لكل من الأعداد:
$120 = 2^3 \times 3 \times 5$
$8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 2^5 \times 3 \times 5 \times 7$

القاسم المشترك الأكبر هو أصغر الأسس والأضعاف المشتركة بين العددين، لذا:
$\text{GCD}(5!, \frac{8!}{3!}) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120$

إذاً، القاسم المشترك الأكبر هو 120 ونقوم بالتعبير عن الإجابة بشكل عددي.

التفاصيل:

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى حساب القاسم المشترك الأكبر (GCD) بين $5!$ و$\frac{8!}{3!}$.

لنبدأ بحساب قيمة $5!$:
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

ثم نقوم بحساب قيمة $\frac{8!}{3!}$:
$\frac{8!}{3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1}$

نقوم بإلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام:
$\frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4$

الآن، نحسب القاسم المشترك الأكبر بين العددين:
$\text{GCD}(5!, \frac{8!}{3!}) = \text{GCD}(120, 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4)$

نحلل العوامل الأولية لكل من الأعداد:
$120 = 2^3 \times 3 \times 5$
$8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 2^5 \times 3 \times 5 \times 7$

القاسم المشترك الأكبر هو أصغر الأسس والأضعاف المشتركة بين العددين، لذا:
$\text{GCD}(5!, \frac{8!}{3!}) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الأسس: نستخدم قاعدة الأسس لتحليل الأعداد إلى عوامل أولية.
2. إلغاء العوامل المشتركة: نلغي العوامل المشتركة بين البسط والمقام لتبسيط التعبير.
3. قاعدة القاسم المشترك الأكبر (GCD): نستخدم قاعدة GCD لحساب القاسم المشترك الأكبر بين الأعداد المعطاة.

باستخدام هذه القوانين، نقوم بالخطوات الضرورية لحل المسألة بطريقة دقيقة ومفصلة.