حساب الفوائد السنوية بشكل فعّال

كارل يواجه صعوبات مالية كبيرة ويستطيع دفع فقط الفوائد على قرض بقيمة 8,000 دولار الذي اقترضه. البنك يفرض عليه نسبة فائدة تراكمية ربع سنوية قدرها 5%. ما هو التقريب السنوي للفائدة التي يدفعها؟

الحلا: لحساب الفائدة السنوية، يمكننا استخدام الصيغة التالية للفائدة التراكمية:

$A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

حيث:

• $A$ هو المبلغ الإجمالي بعد فترة الزمن $t$.
• $P$ هو المبلغ الأصلي (رأس المال)، وهو في حالتنا 8,000 دولار.
• $r$ هو معدل الفائدة السنوي (ككسر)، وهو 5% أو 0.05.
• $n$ هو عدد مرات الاحتساب في السنة، وفي هذه الحالة نحن نتحدث عن فترات ربع سنوية لذا $n = 4$.
• $t$ هو عدد السنوات.

نطبق القيم على الصيغة:

$A = 8000 \left(1 + \frac{0.05}{4}\right)^{4t}$

نريد حساب الفائدة السنوية، لذا $t = 1$ سنة:

$A = 8000 \left(1 + \frac{0.05}{4}\right)^{4 \times 1}$

$A = 8000 \left(1 + 0.0125\right)^4$

$A = 8000 \times 1.0125^4$

$A \approx 8000 \times 1.050601$

$A \approx 8404.808$

الفرق بين المبلغ الإجمالي ورأس المال هو المبلغ الذي دفعه كارل كفوائد. لذا:

$الفائدة = A – P \approx 8404.808 – 8000 \approx 404.808$

إذاً، التقريب السنوي للفائدة التي يدفعها كارل هو حوالي 404.808 دولار.

لحساب الفائدة التراكمية في هذه المسألة، قمنا باستخدام صيغة الفائدة التراكمية التي تعتمد على مفهوم التراكم الربع سنوي. لتوضيح الحل بشكل أفضل، سأقوم بتوضيح القوانين المستخدمة وخطوات الحساب بشكل أكثر تفصيلاً.

القوانين المستخدمة:

1. صيغة الفائدة التراكمية:
   $A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

   حيث:

   • $A$ هو المبلغ الإجمالي بعد فترة الزمن $t$.
   • $P$ هو المبلغ الأصلي (رأس المال).
   • $r$ هو معدل الفائدة السنوي (ككسر).
   • $n$ هو عدد مرات الاحتساب في السنة.
   • $t$ هو عدد السنوات.

2. تحويل النسبة إلى كسر:
   في هذه المسألة، تحولنا نسبة الفائدة السنوية المئوية إلى كسر عن طريق قسمة النسبة على 100.

3. تطبيق القيم على الصيغة:
   ثم قمنا بتطبيق القيم المعطاة في المسألة على الصيغة، حيث كان لدينا:

   • $P$ (رأس المال) = 8000 دولار.
   • $r$ (معدل الفائدة ككسر) = 0.05.
   • $n$ (عدد مرات الاحتساب في السنة) = 4 (نظرًا لأن الاحتساب ربع سنوي).
   • $t$ (عدد السنوات) = 1.

4. الحساب:
   أجرينا الحسابات بترتيب، حيث ضربنا المبلغ الأصلي في التعويض السنوي المحسوب.

الخطوات بالتفصيل:

$A = 8000 \left(1 + \frac{0.05}{4}\right)^{4 \times 1}$

$A = 8000 \left(1 + 0.0125\right)^4$

$A = 8000 \times 1.0125^4$

$A \approx 8000 \times 1.050601$

$A \approx 8404.808$

5. حساب الفائدة:
   نقوم بحساب الفارق بين المبلغ الإجمالي ($A$) ورأس المال ($P$) للحصول على قيمة الفائدة:
   $الفائدة = A – P \approx 8404.808 – 8000 \approx 404.808$

بهذا، نكون قد استخدمنا الصيغة الرياضية المعتمدة لحل المسألة بمراعاة القوانين المتعلقة بالتراكم والفوائد التراكمية.