حساب الفترة بالفائدة المركبة

بناءً على المعلومات المقدمة، نستخدم صيغة حساب الفائدة المركبة:

$A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

حيث:
$A$ هو المبلغ النهائي بمجرد انتهاء الفترة.
$P$ هو المبلغ الأصلي (رأس المال الأصلي).
$r$ هو معدل الفائدة السنوي (بالنسبة المئوية).
$n$ هو عدد المرات التي يتم فيها حساب الفائدة في السنة.
$t$ هو عدد السنوات.

نعرف أن:
$A = P + I$
حيث $I$ هو المبلغ الإجمالي للفائدة.

بما أننا نعلم أن الرأسمال الأصلي $P$ هو $30,000 والفائدة $I$ هي $4347، يمكننا حساب $A$:
$A = P + I = 30,000 + 4,347 = 34,347$

الآن نستخدم هذه القيم في الصيغة الأولى:
$34,347 = 30,000 \left(1 + \frac{7}{n}\right)^{nt}$

لحل هذه المعادلة، يمكننا القيام بالخطوات التالية:

1. قسمة الجانبين على $P$:
   $\frac{34,347}{30,000} = \left(1 + \frac{7}{n}\right)^{nt}$

2. تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على الجانبين:
   $\ln\left(\frac{34,347}{30,000}\right) = nt \ln\left(1 + \frac{7}{n}\right)$

3. حساب قيمة $nt$:
   $nt = \frac{\ln\left(\frac{34,347}{30,000}\right)}{\ln\left(1 + \frac{7}{n}\right)}$

4. حساب قيمة $t$ بقسمة $nt$ على $n$:
   $t = \frac{\frac{\ln\left(\frac{34,347}{30,000}\right)}{\ln\left(1 + \frac{7}{n}\right)}}{n}$

تطبيق هذه الخطوات سيسمح لنا بحساب الفترة (بالأعوام) المطلوبة.

لحل هذه المسألة، سنقوم باستخدام قانون الفائدة المركبة ونطبق عدة خطوات للوصول إلى القيمة المطلوبة للفترة ($t$). قانون الفائدة المركبة يُمثل الزيادة التي تُضاف إلى رأس المال الأصلي في كل فترة حسابية، وهو مهم في حساب القيم المالية على المدى الزمني. القانون الرئيسي المستخدم هو:

$A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

حيث:

• $A$ هو المبلغ النهائي بعد فترة $t$.
• $P$ هو المبلغ الأصلي (رأس المال الأصلي).
• $r$ هو معدل الفائدة السنوي (بالنسبة المئوية).
• $n$ هو عدد المرات التي يتم فيها حساب الفائدة في السنة.
• $t$ هو عدد السنوات.

المعطيات في المسألة هي:
P = $30,000 (رأس المال الأصلي)
$r = 7\%$ (معدل الفائدة السنوي)
A = P + I = $34,347 (المبلغ النهائي)

الآن، سنقوم بتحليل الخطوات الرياضية:

1. حساب قيمة $I$ (الفائدة):
   I = A – P = $34,347 – $30,000 = $4,347

2. تعيين القيم في الصيغة:
   $A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$
   $34,347 = $30,000 \left(1 + \frac{0.07}{n}\right)^{nt}

3. حل المعادلة للعثور على $nt$:
   $nt = \frac{\ln\left(\frac{34,347}{30,000}\right)}{\ln\left(1 + \frac{0.07}{n}\right)}$

4. حساب $t$ بقسمة $nt$ على $n$:
   $t = \frac{\frac{\ln\left(\frac{34,347}{30,000}\right)}{\ln\left(1 + \frac{0.07}{n}\right)}}{n}$

القوانين المستخدمة هي:

1. قانون الفائدة المركبة.
2. اللوغاريتم الطبيعي ($\ln$) لحساب القيمة المطلوبة.

هذه الخطوات توضح الطريقة التي يمكن بها حساب الفترة المطلوبة لتحقيق المبلغ النهائي بناءً على الفائدة المركبة.