حساب العوامل والضرب الأصغر (مسألة رياضيات)

نرمز إلى أكبر عامل مشترك بين عددين a و b بالرمز GCF(a, b)، ونستخدم LCM(c, d) للدلالة على الضرب الأصغر بين مضاعفات c و d. الآن، دعونا نحل المسألة:

نريد حساب GCF(LCM(8, 14), LCM(7, 12))

أولاً، نحسب LCM(8, 14):

LCM(8, 14) يعني أننا نبحث عن الضرب الأصغر بين مضاعفات العددين 8 و 14. يمكننا بسهولة حساب ذلك بالبحث عن أصغر عدد يمكن أن يقسم كل من 8 و 14، وهو 56.

لذا، LCM(8, 14) = 56

ثم نقوم بحساب LCM(7, 12):

LCM(7, 12) يعني أننا نحتاج إلى العثور على الضرب الأصغر بين مضاعفات 7 و 12. يمكننا أيضًا القول أن 84 هو العدد الذي يمكن أن يقسم كل من 7 و 12.

لذا، LCM(7, 12) = 84

الآن، لدينا GCF(56, 84)، نحتاج إلى حساب أكبر عامل مشترك بين 56 و 84. يمكننا استخدام خوارزمية أقل عامل مشترك للقيام بذلك.

نلاحظ أن 56 = 2 * 2 * 2 * 7 و 84 = 2 * 2 * 3 * 7

العامل المشترك الأكبر هو 2 * 2 * 7 = 28

إذاً، GCF(LCM(8, 14), LCM(7, 12)) = 28

لحل هذه المسألة، سنتبع خطوات محددة ونعتمد على بعض القوانين الأساسية في الحساب العددي. دعونا نقوم بتوضيح الحل بشكل مفصل.

1. حساب LCM(8, 14):
   نحتاج إلى البحث عن الضرب الأصغر بين مضاعفات العددين 8 و 14. يمكننا استخدام القاعدة التالية: LCM(a, b) * GCF(a, b) = a * b.

   يمكننا كتابة المعادلة التالية:
   LCM(8, 14) * GCF(8, 14) = 8 * 14

   ونعلم أن LCM(8, 14) = 56، لذا يمكننا حل المعادلة للحصول على GCF(8, 14).

   56 * GCF(8, 14) = 8 * 14
   GCF(8, 14) = (8 * 14) / 56
   GCF(8, 14) = 2

   إذاً، GCF(8, 14) = 2

2. حساب LCM(7, 12):
   نستخدم نفس القاعدة: LCM(c, d) * GCF(c, d) = c * d.

   يمكننا كتابة المعادلة التالية:
   LCM(7, 12) * GCF(7, 12) = 7 * 12

   ونعلم أن LCM(7, 12) = 84، لذا يمكننا حل المعادلة للحصول على GCF(7, 12).

   84 * GCF(7, 12) = 7 * 12
   GCF(7, 12) = (7 * 12) / 84
   GCF(7, 12) = 1

   إذاً، GCF(7, 12) = 1

3. حساب GCF(LCM(8, 14), LCM(7, 12)):
   الآن أن لدينا قيم GCF(8, 14) و GCF(7, 12)، نستخدم قاعدة الضرب: GCF(a * c, b * d) = GCF(a, b) * GCF(c, d).

   يمكننا كتابة المعادلة التالية:
   GCF(LCM(8, 14), LCM(7, 12)) = GCF(56, 84) = GCF(8, 14) * GCF(7, 12)

   إذاً، GCF(LCM(8, 14), LCM(7, 12)) = 2 * 1 = 2

للتأكيد، يمكننا استخدام الطريقة البسيطة لحساب GCF بواسطة عوامل الأعداد، حيث نجد أن العوامل المشتركة الأكبر بين 56 و 84 هي 2 * 2 * 7 = 28.

قوانين الحل:

• قاعدة حساب LCM(a, b) * GCF(a, b) = a * b.
• قاعدة الضرب: GCF(a * c, b * d) = GCF(a, b) * GCF(c, d).

هذه القوانين تعتمد على الفهم الأساسي للمفاهيم الرياضية مثل العوامل المشتركة والضرب الأصغر، وهي قوانين أساسية في حساب الأعداد والتفاعل بين GCF و LCM.