حساب العنصر الأول في تسلسل – مسألة القيمة التي تتجاوز 5000 (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

العنصر الأول في تسلسل معين هو 1، وكل عنصر تالي هو مجموع جميع العناصر السابقة في التسلسل. ما هي قيمة العنصر الأول الذي يتجاوز القيمة 5000؟

حل المسألة:

لنبدأ بتحليل التسلسل. العنصر الأول هو 1، العنصر الثاني سيكون مجموع العنصر الأول والثاني (1 + 1 = 2)، العنصر الثالث سيكون مجموع العنصر الأول والثاني والثالث (1 + 2 + 1 = 4)، وهكذا.

يمكننا كتابة التسلسل بشكل عام كالتالي:
1, 1+1, 1+1+2, 1+1+2+4, 1+1+2+4+8, …

ومن هذا التسلسل، نلاحظ أن كل عنصر هو مجموع الأعداد السابقة، ويتضاعف العدد في كل مرة.

لحساب القيمة التي يتجاوزها العنصر الأول للتسلسل، يمكننا استخدام القوانين الرياضية. دعونا نفترض أن العنصر الأول الذي يتجاوز القيمة 5000 يكون $n$.

لنقم بالحساب:
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2^{(n-1)} > 5000

هذا يشير إلى أن مجموع جميع الأعداد السابقة حتى العنصر $n$ يجب أن يتجاوز 5000.

لحساب القيمة المطلوبة، يجب أن نجمع جميع الأعداد في التسلسل حتى نجد القيمة التي تتجاوز 5000. بما أن كل عنصر يتضاعف عن العنصر السابق، يمكننا استخدام تقنية الضعف لحساب المجموع.

نبدأ بالعنصر الأول: 1.
العنصر الثاني: 1 + 1 = 2.
العنصر الثالث: 1 + 1 + 2 = 4.
العنصر الرابع: 1 + 1 + 2 + 4 = 8.
العنصر الخامس: 1 + 1 + 2 + 4 + 8 = 16.
وهكذا.

نقوم بالجمع متقدمين في التسلسل حتى نصل إلى العنصر الذي يتجاوز 5000.

1 + 1 = 2
1 + 1 + 2 = 4
1 + 1 + 2 + 4 = 8
1 + 1 + 2 + 4 + 8 = 16
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 32
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 64
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 128
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 256
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 512
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1024
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 2048
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 = 4096
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 = 8192

وبمجموع العناصر أعلاه، نجد أن العنصر الأول الذي يتجاوز قيمة 5000 هو 8192.

في هذه المسألة، نحن بحاجة إلى حساب العنصر الأول في تسلسل محدد حيث يتم تحديد كل عنصر بجمع جميع العناصر السابقة في التسلسل.

لحل هذه المسألة، نستخدم الفهم الرياضي لطبيعة التسلسل ونستخدم القوانين التالية:

1. تعريف التسلسل: نعرف التسلسل بدقة. في هذه الحالة، كل عنصر في التسلسل هو مجموع جميع العناصر السابقة.

2. العمليات الحسابية الأساسية: نحتاج إلى القدرة على الجمع لحساب قيم التسلسل.

3. القوى والتضاعف: يمثل كل عنصر في التسلسل تضاعفاً للقيمة السابقة، حيث يتم ضرب القيمة السابقة في 2 للحصول على القيمة الجديدة.

الآن، دعنا ننظر إلى الخطوات التفصيلية لحساب العنصر الأول الذي يتجاوز 5000:

نبدأ بالعنصر الأول الذي هو 1.
العنصر الثاني يكون الجمع بين العنصر الأول والعنصر الثاني، أي: 1 + 1 = 2.
العنصر الثالث يكون الجمع بين العنصر الأول والثاني والثالث، أي: 1 + 1 + 2 = 4.
نلاحظ أن كل عنصر يتضاعف عن العنصر السابق.

نستمر في هذا النمط لحساب العناصر اللاحقة في التسلسل حتى نصل إلى العنصر الذي يتجاوز قيمة 5000.

باستخدام العمليات الحسابية البسيطة، نقوم بجمع القيم كما يلي:
1 + 1 = 2
1 + 1 + 2 = 4
1 + 1 + 2 + 4 = 8
1 + 1 + 2 + 4 + 8 = 16
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 32
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 64
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 128
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 256
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 512
…

نستمر في هذا النمط حتى نصل إلى عنصر يتجاوز القيمة 5000.

باستخدام هذه القوانين والعمليات الحسابية، نحسب أن العنصر الأول الذي يتجاوز القيمة 5000 هو 8192.