حساب العناصر الأولى في متتالية هندسية (مسألة رياضيات)

المتتالية الهندسية اللانهائية $\left{\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\dots \right}$ تتمثل في تناقص النصف المتتالي، حيث يتم ضرب كل عنصر بمقدار $\frac{1}{2}$. لحساب مجموع أول $n$ عنصر في هذه المتتالية، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$S_n = a \left( \frac{1 – r^n}{1 – r} \right)$

حيث $S_n$ هو مجموع العناصر الأولى $n$، $a$ هو العنصر الأول في المتتالية، $r$ هو النسبة الهندسية، و $n$ هو عدد العناصر.

في هذه المسألة، $a = \frac{1}{4}$ و $r = \frac{1}{2}$. نعلم أن مجموع الأول $n$ عنصرًا هو $\frac{63}{128}$. لذا، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$\frac{63}{128} = \frac{1/4 \cdot (1 – (1/2)^n)}{1 – 1/2}$

بحسب الجهة اليمنى من المعادلة، نحصل على:

$\frac{63}{128} = \frac{1/4 \cdot (1 – (1/2)^n)}{1/2}$

نضرب الجهتين في المعادلة في $2$ لتبسيط الحسابات:

$\frac{63}{64} = \frac{1 – (1/2)^n}{4}$

نضرب الطرفين في المعادلة في $4$ للتخلص من المقام:

$\frac{252}{64} = 1 – (1/2)^n$

$\frac{63}{16} = 1 – (1/2)^n$

نطرح $1$ من الجهتين:

$\frac{47}{16} = (1/2)^n$

لحساب القيمة التي تجعل المعادلة صحيحة، يمكننا استخدام اللوغاريتم الطبيعي:

$\log_2 \left(\frac{47}{16}\right) = n$

تقريبًا، يكون $n$ حوالي $2.49$. ومع أن $n$ يجب أن يكون عدد صحيح، إلا أنه يجب أن يكون أكبر من $2$ لأننا بحاجة إلى مجموع أول $n$ عنصر. لذا، نقرب $n$ إلى العدد الصحيح الأقرب، والذي هو $3$. إذاً، القيمة المطلوبة لـ $n$ هي $3$.

فيما يلي تفاصيل أكثر لحل المسألة وذكر القوانين المستخدمة:

المتتالية الهندسية معيارياً تمثل بالصيغة التالية:

$a_n = a \cdot r^{(n-1)}$

حيث:

• $a$ هو العنصر الأول في المتتالية.
• $r$ هو النسبة الهندسية.

ومن ثم، مجموع العناصر الأول $n$ في المتتالية يحسب بواسطة الصيغة التالية:

$S_n = a \cdot \frac{1 – r^n}{1 – r}$

في هذه المسألة، لدينا المتتالية $\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots$، حيث $a = \frac{1}{4}$ و $r = \frac{1}{2}$. نريد حساب قيمة $n$ حيث يكون مجموع العناصر الأول $n$ هو $\frac{63}{128}$.

باستخدام الصيغة لمجموع المتتالية الهندسية، نحصل على المعادلة التالية:

$\frac{63}{128} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (1 – (\frac{1}{2})^n)}{1 – \frac{1}{2}}$

تقسيم الجهتين في المعادلة على $\frac{1}{2}$ يؤدي إلى:

$\frac{63}{64} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (1 – (\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}}$

ومن ثم، نحسب قيمة الجهة اليمنى:

$\frac{63}{64} = \frac{1 – (\frac{1}{2})^n}{4}$

ونضرب الطرفين في المعادلة في 4:

$\frac{252}{64} = 1 – (\frac{1}{2})^n$

تطرح 1 من الطرفين:

$\frac{63}{16} = (\frac{1}{2})^n$

الآن، لحساب قيمة $n$، نستخدم اللوغاريتم الطبيعي:

$n = \log_2 \left(\frac{63}{16}\right)$

تقريبًا، نحصل على $n$ حوالي 2.49. ونحتاج إلى $n$ كعدد صحيح أكبر من 2، لذا نقربه إلى أقرب عدد صحيح، الذي هو 3. لذا، القيمة المطلوبة لـ $n$ هي 3.

القوانين المستخدمة:

1. صيغة المتتالية الهندسية: $a_n = a \cdot r^{(n-1)}$
2. صيغة مجموع المتتالية الهندسية: $S_n = a \cdot \frac{1 – r^n}{1 – r}$
3. استخدام اللوغاريتم لحساب العدد الذي يرفع إلى الأس للوصول إلى قيمة $n$.