حساب العدد العكسي لـ 2 موديولو 185 (مسألة رياضيات)

المسألة:

العثور على $2^{-1} \pmod{185}$ كبقايا موديولو 185. الرجاء تقديم إجابة بين 0 و 184، شاملة.

الحل:

نريد حساب العدد الذي عندما نقوم بضربه في 2 ونأخذ الباقي عند القسمة على 185، نحصل على باقي يكون 1. هذا يمكن تعبيره رياضيًا على النحو التالي:

$2 \cdot x \equiv 1 \pmod{185}$

حيث $x$ هو العدد الذي نبحث عنه. يمكننا حل هذا المعادلة للعثور على القيمة المناسبة لـ $x$.

نستخدم خوارزمية امتداد القسمة لحساب القيمة المطلوبة. نبدأ بكتابة المعادلة بشكل معادلة ديوفان:

$2 \cdot x – 185 \cdot y = 1$

حيث $y$ هو عدد صحيح آخر. نقوم بحساب أقل عام مشترك لـ 2 و 185 باستخدام خوارزمية أقل عام مشترك:

$\text{gcd}(2, 185)$

إذا كانت الناتج تساوي 1، فإن لدينا حلا للمعادلة، وإلا فإن الحلا غير ممكن. نلاحظ أن $\text{gcd}(2, 185) = 1$، لذلك لدينا حلا.

الخطوة التالية هي حساب القيمة المحددة لـ $x$ باستخدام خوارزمية امتداد القسمة.

بعد حساب القيمة المناسبة لـ $x$، نأخذ الباقي عند القسمة على 185 للتأكد من أننا نحصل على قيمة صحيحة مما يمثل $2^{-1} \pmod{185}$.

هذا هو الحل الكامل للمسألة.

بالطبع، دعونا نوسع على الحل ونركز على الخطوات الرياضية والقوانين المستخدمة.

المسألة تتطلب حساب $2^{-1} \pmod{185}$، وهو العدد الذي إذا تم ضربه في 2 وأخذ الباقي عند القسمة على 185، يعطي باقيًا يكون 1.

للقيام بذلك، نبدأ بكتابة المعادلة التي تمثل هذا المطلوب:

$2 \cdot x \equiv 1 \pmod{185}$

حيث $x$ هو العدد الذي نبحث عنه. القانون الرئيسي المستخدم هنا هو خوارزمية امتداد القسمة. هذه الخوارزمية تعتمد على مفهوم أقل عام مشترك ($\text{gcd}$).

الخطوة الأولى هي حساب $\text{gcd}(2, 185)$، وهو يمثل القيمة الأصغر التي يمكن قسمها على كل من 2 و 185. إذا كانت القيمة تكون 1، فإن لدينا حلا للمعادلة.

في حالتنا، نجد أن $\text{gcd}(2, 185) = 1$، وهذا يعني أن لدينا حلا.

الخطوة التالية تشمل استخدام خوارزمية امتداد القسمة لحساب القيمة المحددة لـ $x$ و $y$ في المعادلة التي تبدو كالتالي:

$2 \cdot x – 185 \cdot y = 1$

ونقوم بحساب قيمة محددة لـ $x$ باستخدام خوارزمية امتداد القسمة.

الخطوة النهائية هي التحقق من القيمة المحسوبة لـ $x$ عندما نأخذ الباقي عند القسمة على 185 للتأكد من أنها تلبي شرط المسألة.

باختصار، القوانين المستخدمة تتعلق بالرياضيات العددية وخوارزمية امتداد القسمة، والتي تعتمد على مفهوم أقل عام مشترك ($\text{gcd}$).