حساب العدد العكسي بالمودولو. (مسألة رياضيات)

نبحث عن $73^{-1} \pmod{74}$.

نحتاج إلى حساب العدد العكسي لـ 73 بالنسبة للمودولو 74.

لحساب العدد العكسي، يجب أن نجد عددًا يراوح بين 0 و 73 بحيث يكون حاصل ضربه في 73 يساوي واحد عندما نقسمه على 74.

بما أن 73 و 74 أولاد متتاليان (بفارق واحد)، فإن حاصل ضربهما يساوي -1.

وبالتالي، العدد العكسي لـ 73 هو -1 نفسه.

ونظرًا لأننا نقوم بالحساب بواسطة المودولو 74، فإن -1 يمكن أن يكون معادلًا لـ 73 بالمودولو 74.

إذاً، القيمة النهائية للمتغير X هي 73.

لحساب $73^{-1} \pmod{74}$، نحتاج إلى استخدام عدة قوانين ومفاهيم في الجبر الخطي المتعلقة بالمودولو:

1. العدد العكسي (Modular Inverse): العدد العكسي لعدد $a$ بالنسبة للمودولو $n$ هو عدد $b$ حيث ينطبق $a \times b \equiv 1 \pmod{n}$. يُرمز للعدد العكسي بـ $a^{-1}$.

2. المودولو (Modulo): العملية التي تعيد باقي القسمة على عدد معين.

3. قاعدة الأسس الصغرى (Little Fermat’s Theorem): إذا كان $p$ عددًا أوليًا و $a$ عددًا صحيحًا لا يقسمه $p$، فإن $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

4. قاعدة الضرب (Multiplicative Property): إذا كان $a \equiv b \pmod{n}$ و $c \equiv d \pmod{n}$، فإن $a \times c \equiv b \times d \pmod{n}$.

أولاً، نلاحظ أن 73 ليس عددًا أوليًا ولكنه غير قابل للقسمة على 74، لذا ليس بإمكاننا استخدام قاعدة Little Fermat’s Theorem مباشرة.

لحساب العدد العكسي $73^{-1} \pmod{74}$، نبدأ بتحديده باستخدام الضرب:

نحتاج إلى عدد يضرب في 73 يُنتج 1 عندما يتم قسمه على 74.

نبدأ بالتجريب باستخدام الأعداد من 1 إلى 73:

$1 \times 73 = 73$
$2 \times 73 = 146$
$3 \times 73 = 219$
$4 \times 73 = 292$
$…$
$73 \times 73 = 5329$

نلاحظ أن 73 ذاته يُنتج 5329 عند الضرب في 73، وبالتالي:

$73 \times 73 \equiv 5329 \equiv 1 \pmod{74}$

لذا، $73^{-1} \equiv 73 \pmod{74}$.

القيمة النهائية للمتغير X هي 73.