حساب العدد العكسي النمطي في النظام النمطي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

“ما هو العدد العكسي النمطي للعدد 4 بالنسبة للعدد 21؟ قدم إجابتك كعدد صحيح يتراوح بين 0 و20، بما في ذلك الحد الأدنى والحد الأقصى.”

الحل:

لحساب العدد العكسي النمطي، نحتاج إلى البحث عن عدد صحيح يرتبط مع العدد 4 بحيث يكون حاصل ضربه في 4 في النظام النمطي متساويًا لوحدة المودولو 21. بمعنى آخر، نبحث عن $x$ بحيث:

$4x \equiv 1 \pmod{21}$

لحل هذا، يمكننا استخدام خوارزمية امتداد الخوارزمي لحساب الأقل الكبير المشترك (Extended Euclidean Algorithm) أو استخدام الجداء المتطابق (Multiplicative Inverse) في النظام النمطي. بعد الحسابات، نجد أن العدد العكسي النمطي للعدد 4 بالنسبة للعدد 21 هو 16.

إذاً، الإجابة هي 16.

بالطبع، دعونا نقم بحل هذه المسألة بتفصيل أكثر، مستخدمين القوانين الرياضية المتعلقة بالنظام النمطي وحسابات الأقل الكبير المشترك.

القاعدة الرئيسية المستخدمة هي قاعدة حساب العدد العكسي في النظام النمطي. إذا كان لدينا عددًا صحيحًا $a$ ونريد العثور على العدد العكسي له في النظام النمطي $m$، فإن القاعدة تقول إن العدد العكسي $a^{-1}$ يحقق المعادلة:

$a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{m}$

بالنسبة للمثال الحالي، نريد العثور على $4^{-1} \pmod{21}$.

نستخدم الأقل الكبير المشترك (Extended Euclidean Algorithm) للبحث عن الأعداد $x$ و $y$ حيث يكون $4x + 21y = 1$. هذا يؤدي إلى حل المعادلة التالية:

$4 \cdot 16 + 21 \cdot (-3) = 1$

هنا، $16$ هو العدد العكسي النمطي الذي نبحث عنه، والنتيجة النهائية هي:

$4 \cdot 16 \equiv 1 \pmod{21}$

تمثل القاعدة الأساسية للحل في استخدام الأقل الكبير المشترك للعثور على الأعداد $x$ و $y$، ومن ثم استخدام العدد $x$ كالعدد العكسي النمطي.

بهذه الطريقة، نحن نحصل على الحلا الكامل للمسألة باستخدام القوانين الرياضية المتقدمة في حسابات النظام النمطي.