حساب العائد على الاستثمار باستخدام اللوغاريتمات (مسألة رياضيات)

إذا قامت إيما بالاستثمار بمبلغ 300 دولار بنسبة عائد سنوي قدرها 15%، وقامت بريانا بالاستثمار بمبلغ 500 دولار بنسبة عائد سنوي قدرها 10%، فإن الفارق بين عائد استثمارهما بعد x سنة يكون كما يلي:

$\text{عائد إيما} = 300 \times (1 + 0.15)^x$

$\text{عائد بريانا} = 500 \times (1 + 0.10)^x$

الفارق بين عائد إيما وعائد بريانا يكون:

$\text{الفارق} = 300 \times (1 + 0.15)^x – 500 \times (1 + 0.10)^x$

وإذا كان الفارق يساوي 10، فإن المعادلة تكون:

$300 \times (1 + 0.15)^x – 500 \times (1 + 0.10)^x = 10$

لحل هذه المعادلة، يمكن استخدام الطرق الرياضية المختلفة مثل تقدير القيمة الرقمية لـ $x$ أو استخدام اللوغاريتمات. الحل يعتمد على الطريقة المفضلة للحل. يمكننا استخدام اللوغاريتمات الطبيعية لحلها:

$300 \times (1.15)^x – 500 \times (1.10)^x = 10$

$\ln(300 \times (1.15)^x – 500 \times (1.10)^x) = \ln(10)$

ثم يمكن استخدام الآلة الحاسبة أو البرامج الحاسوبية لحساب قيمة $x$ من المعادلة الناتجة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم اللوغاريتمات الطبيعية لتحويل المعادلة إلى صورة يسهل حسابها. سنستخدم القاعدة اللوغاريتمية $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ وكذلك قاعدة التربيع $a^{2x} = (a^x)^2$ في الحل.

المعادلة الأصلية:

$300 \times (1.15)^x – 500 \times (1.10)^x = 10$

نطبق اللوغاريتم الطبيعي على الطرفين:

$\ln(300 \times (1.15)^x – 500 \times (1.10)^x) = \ln(10)$

نستخدم القاعدة $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$:

$\ln(300) + \ln((1.15)^x) – \ln(500) – \ln((1.10)^x) = \ln(10)$

نستخدم القاعدة $\ln(a^b) = b \times \ln(a)$:

$\ln(300) + x \times \ln(1.15) – \ln(500) – x \times \ln(1.10) = \ln(10)$

نقوم بترتيب الأعضاء المتشابهة:

$(x \times \ln(1.15) – x \times \ln(1.10)) = \ln(10) – \ln(300) + \ln(500)$

نأخذ معامل $x$ كعامل مشترك:

$x \times (\ln(1.15) – \ln(1.10)) = \ln(10) – \ln(300) + \ln(500)$

نقسم على $(\ln(1.15) – \ln(1.10))$ لحساب قيمة $x$:

$x = \frac{\ln(10) – \ln(300) + \ln(500)}{\ln(1.15) – \ln(1.10)}$

الآن يمكن استخدام الآلة الحاسبة لحساب القيمة الرقمية لـ $x$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة اللوغاريتم $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
2. قاعدة التربيع $(a^x)^2 = a^{2x}$
3. قاعدة اللوغاريتم للأس $\ln(a^b) = b \times \ln(a)$

هذه القوانين تُستخدم لتبسيط المعادلة وتسهيل عملية الحساب.