حساب الطرق لتشكيل لجنة فرعية (مسألة رياضيات)

عدد أعضاء لجنة في مجلس الشيوخ هو 8 جمهوريين وX ديمقراطيًا. كم هناك من طرق يمكننا بها تشكيل لجنة فرعية تتألف من 3 جمهوريين و2 ديمقراطيين؟ إذا كنا نعلم أن الإجابة على هذا السؤال هي 840، ما هو قيمة المتغير المجهول X؟

لحساب عدد الطرق التي يمكن بها تشكيل اللجنة الفرعية، يمكننا استخدام مبدأ الجمع. عدد الطرق لاختيار 3 جمهوريين من بين 8 يمثلها التالي:

$C(8,3) = \frac{8!}{3!(8-3)!}$

وعدد الطرق لاختيار 2 ديمقراطيين من بين X يمثلها:

$C(X,2) = \frac{X!}{2!(X-2)!}$

ثم نقوم بضرب هذين العددين للحصول على إجمالي عدد الطرق:

$\text{إجمالي الطرق} = C(8,3) \times C(X,2)$

ونعلم أن هذا الرقم يساوي 840، لذا:

$C(8,3) \times C(X,2) = 840$

نقوم بحساب قيمة $C(8,3)$ و $C(X,2)$، ثم نحل المعادلة للعثور على قيمة X.

لنقم بحساب قيمة $C(8,3)$ أولاً، وهي عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار 3 جمهوريين من بين 8. يتم حساب ذلك باستخدام صيغة الجمع:

$C(8,3) = \frac{8!}{3!(8-3)!}$

حيث:

• $n!$ تعبر عن عامل التكرار (الفاكتوريال) للعدد n.
• $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$

باستخدام القوانين الحسابية، نحسب قيمة $C(8,3)$ كما يلي:

$C(8,3) = \frac{8!}{3! \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

ثم نقوم بحساب قيمة $C(X,2)$، وهي عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار 2 ديمقراطيين من بين X:

$C(X,2) = \frac{X!}{2!(X-2)!}$

ثم نضرب النتيجتين للحصول على إجمالي عدد الطرق:

$\text{إجمالي الطرق} = C(8,3) \times C(X,2) = 56 \times C(X,2)$

ونعلم أن هذا الرقم يساوي 840، لذا:

$56 \times C(X,2) = 840$

لحل المعادلة، نقوم بتقسيم كل طرف على 56:

$C(X,2) = \frac{840}{56} = 15$

وهذا يعني:

$\frac{X!}{2!(X-2)!} = 15$

باستخدام القوانين الحسابية، نقوم بتفكيك المعادلة للعثور على قيمة X. بناءً على القاعدة $n! = n \times (n-1)!$، نقوم بتبسيط العبارة:

$\frac{X \times (X-1) \times (X-2)!}{2 \times (X-2)!} = 15$

نقوم بإلغاء عامل التكرار (الفاكتوريال) من كلا الجهتين:

$\frac{X \times (X-1)}{2} = 15$

نضرب الجهتين في المعادلة بـ 2 لتخليص الكسر:

$X \times (X-1) = 30$

ثم نقوم بحل المعادلة التربيعية:

$X^2 – X – 30 = 0$

الآن نقوم بحساب القيمة الممكنة لـ X باستخدام صيغة حل المعادلة التربيعية:

$X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث:

• a = 1
• b = -1
• c = -30

$X = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(1)(-30)}}{2(1)}$

$X = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

$X = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{2}$

$X = \frac{1 \pm 11}{2}$

لذا، هناك قيمتين ممكنتين لـ X:

1. $X = \frac{1 + 11}{2} = 6$
2. $X = \frac{1 – 11}{2} = -5$

ومن المعقول أن تكون قيمة X إيجابية، لذا يكون الحل $X = 6$.