حساب الطرق لتشكيل فريق من 4 أعضاء (مسألة رياضيات)

عندما نكوّن فريقًا صغيرًا من 4 أعضاء من بين 7 تنفيذيين، بما في ذلك الرئيس التنفيذي ورئيس المالية، ولكن بشرط أن لا يكون الرئيس التنفيذي ورئيس المالية معًا في الفريق، كيف يمكننا حساب عدد الطرق الممكنة لتشكيل هذا الفريق؟

لنقم بحساب عدد الطرق التي يمكن بها اختيار الأعضاء. إذا كان هناك 7 أعضاء ونريد اختيار 4 من بينهم، فإن عدد الطرق الممكنة يكون عبارة عن الجمع الضربي. يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$\text{عدد الطرق} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

حيث:

• $n$ هو عدد العناصر الكلي (عدد الأعضاء).
• $r$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها (حجم الفريق).

في هذه الحالة، $n = 7$ و $r = 4$، لذا يمكننا حسابها كالتالي:

$\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!}$

الآن دعونا نقوم بحساب هذا الجزء:

$\binom{7}{4} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)}$

نقلل العوامل المتكررة:

$\binom{7}{4} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}$

الآن نحسب القيم:

$\binom{7}{4} = \frac{210}{6}$

$\binom{7}{4} = 35$

لذا، هناك 35 طريقة مختلفة لتشكيل الفريق من 4 أعضاء من بين ال 7 تنفيذيين.

بالطبع، دعونا نقوم بتوضيح التفاصيل الأكثر حول حل هذه المسألة ونشرح القوانين المستخدمة. لحساب عدد الطرق الممكنة لتشكيل الفريق، استخدمنا مبدأ الاختيار (Combinations) وبعض قوانين حساب الاحتمالات.

المبدأ الذي تم استخدامه هو “الجمع الضربي”، والذي يقول إن عدد الطرق لتحقيق سلسلة من الأحداث هو ناتج الضرب لعدد الطرق لكل حدث. في هذه الحالة، استخدمنا مبدأ الجمع الضربي لحساب عدد الطرق لاختيار أعضاء الفريق.

القانون الآخر المستخدم هو قاعدة الاختيار (Combinations)، والتي تقول إن عدد الطرق لاختيار مجموعة معينة من العناصر من بين مجموعة كبيرة هو ناتج القسمة لعدد الطرق لاختيار تلك المجموعة على حاصل ضرب عدد الطرق لاختيار العناصر غير المختارة. في هذه الحالة، استخدمنا قاعدة الاختيار لحساب عدد الطرق لاختيار الفريق من بين الكفاءات المختارة.

لحساب القيمة النهائية، استخدمنا صيغة الاختيار:

$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

حيث:

• $n$ هو عدد العناصر الكلي (عدد الأعضاء).
• $r$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها (حجم الفريق).

وقمنا بتوضيح الحسابات الخاصة بهذه الصيغة للحصول على القيمة النهائية. في هذه المسألة، كانت القيمة النهائية هي 35.

باختصار، استخدمنا قوانين الاحتمالات ومبدأ الجمع الضربي مع قاعدة الاختيار لحساب عدد الطرق الممكنة لتشكيل الفريق المكون من 4 أعضاء من بين 7 تنفيذيين.