حساب الطرق لاختيار الإداريين في اجتماع (مسألة رياضيات)

يجب عقد اجتماع مع 5 من الإداريين من بين 9 إداريين، مع الشرط أن لا يحضر 3 إداريين معًا. لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار الإداريين، يمكننا استخدام مفهوم الترتيبات والتجميعات.

لنفكر في طريقة لحساب الإجابة:

1. حساب عدد الطرق لاختيار 5 من بين 9 إداريين بدون أي شروط. هذا يُعبر عنه بالترتيبة العادية ويتم بواسطة الصيغة:
   $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
   حيث $n$ هو عدد العناصر الكلي (9 في هذه الحالة)، و $r$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها (5 في هذه الحالة).

2. حساب عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 3 من بين 9 إداريين للابتعاد عن الاجتماع. يُعبر عن هذا بالترتيبة العادية أيضًا.

3. حساب عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 5 من بين 6 إداريين المتبقين (9 إداريين – 3 الذين لا يحضرون).

ثم يمكننا استخدام مبدأ الضرب لحساب الإجابة النهائية:

$\text{الإجابة النهائية} = \text{الطرق لاختيار 5 من بين 9} – (\text{الطرق لاختيار 3 من بين 9} \times \text{الطرق لاختيار 5 من بين 6})$

الآن، دعونا نحسب هذه القيم بتفصيل:

$\text{الطرق لاختيار 5 من بين 9} = C(9, 5) = \frac{9!}{5!(9-5)!}$

$\text{الطرق لاختيار 3 من بين 9} = C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!}$

$\text{الطرق لاختيار 5 من بين 6} = C(6, 5) = \frac{6!}{5!(6-5)!}$

ثم نقوم بوضع هذه القيم في الصيغة النهائية للحساب.

في هذه المسألة، نستخدم مبدأ الترتيبات والتجميعات لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار 5 من بين 9 مديرًا مع الشرط الإضافي بأن 3 منهم لا يمكن أن يحضروا معًا.

لحساب عدد الطرق لاختيار $r$ عنصرًا من بين $n$ عنصر، نستخدم صيغة الترتيبة العادية ($nPr$):

$nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$

حيث $n!$ تمثل عاملي الأعداد من 1 إلى $n$، و $(n-r)!$ تمثل عاملي الأعداد من 1 إلى $n-r$.

القوانين المستخدمة:

1. صيغة الترتيبة العادية ($nPr$):
   $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$

2. مبدأ الضرب:
   إذا كان لدينا عملية تتألف من $m$ خطوة وكل خطوة لها $n_i$ طريقة، فإن إجمالي الطرق للعملية ككل يكون هو حاصل ضرب عدد الطرق في كل خطوة:
   $\text{الإجمالي} = n_1 \times n_2 \times \ldots \times n_m$

الآن، دعونا نحسب القيم بتفصيل:

1. حساب عدد الطرق لاختيار 5 من بين 9:
   $C(9, 5) = \frac{9!}{5!(9-5)!}$

2. حساب عدد الطرق لاختيار 3 من بين 9:
   $C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!}$

3. حساب عدد الطرق لاختيار 5 من بين 6 (الإداريين المتبقين):
   $C(6, 5) = \frac{6!}{5!(6-5)!}$

4. استخدام مبدأ الضرب لحساب الإجابة النهائية:
   $\text{الإجابة النهائية} = C(9, 5) – (C(9, 3) \times C(6, 5))$

هذا يعكس الطريقة التي نستخدمها لحساب عدد الطرق بمراعاة الشروط المحددة في المسألة.