حساب السياج لحقل مستطيلي: حلاقي لمعادلة المساحة (مسألة رياضيات)

المسألة:

يتعين تحيين حقل مستطيلي بسور على ثلاث جهات، متركًا جهة بطول 20 قدمًا بدون تغطية. إذا كانت مساحة الحقل تبلغ 800 قدم مربع، فكم يلزم من سياج؟

الحل:

لنبدأ بتحديد الأبعاد الرياضية للحقل. سنفترض أن الجهة المغطاة بالسياج هي الطول، ولنعبر عن العرض برمز $w$ والطول برمز $l$. لدينا:

العرض $w$ بقدر 20 قدمًا (الجهة غير المغطاة).

الطول $l$ بمقدار $l$ قدمًا (الجهة المغطاة).

المساحة $A$ للحقل تُعبَّر عنها بمنتج الطول والعرض، أي $A = l \times w$.

وفقًا للمعطيات، نعلم أن مساحة الحقل تبلغ 800 قدم مربع، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$800 = l \times (l + 20)$

الآن سنقوم بحل المعادلة. نقوم بتوسيع المعادلة وترتيبها بحيث نحصل على معادلة رباعية:

$l^2 + 20l – 800 = 0$

نستخدم القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية للوصول إلى قيمة $l$، ونستبعد القيمة السالبة لأن الطول لا يمكن أن يكون سالبًا. بعد ذلك، يمكننا استخدام قيمة $l$ لحساب العرض $w$ باستخدام العلاقة $w = 20 + l$.

بعد أن نحصل على قيم الطول والعرض، يمكننا حساب المحيط الإجمالي للسياج باستخدام العلاقة:

$\text{المحيط} = 2l + w$

وهكذا نحصل على الإجابة النهائية.

بالطبع، دعونا نوسع التفاصيل في حل هذه المسألة ونشرح القوانين المستخدمة.

المسألة:
يتعين تحيين حقل مستطيلي بسور على ثلاث جهات، متركًا جهة بطول 20 قدمًا بدون تغطية. إذا كانت مساحة الحقل تبلغ 800 قدم مربع، فكم يلزم من سياج؟

الحل:

1. تحديد المتغيرات:

   • $l$: الطول الذي سيتم تحيينه بالسياج.
   • $w$: العرض الذي يكون جهة منه بدون سياج (20 قدمًا).

2. استخدام القانون الرياضي:

   • المساحة $A$ للمستطيل تُعبَّر عنها بالعلاقة:
     $A = l \times w$

3. كتابة المعادلة:

   • نعلم أن $A = 800$ و $w = 20$، لذا المعادلة تصبح:
     $800 = l \times (l + 20)$

4. حل المعادلة:

   • نقوم بتوسيع المعادلة للحصول على معادلة رباعية:
     $l^2 + 20l – 800 = 0$
   • نستخدم القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية للوصول إلى قيمة $l$.

5. التحقق من الحل:

   • نتأكد من أن القيمة الموجودة لـ $l$ تجعل المعادلة الأصلية صحيحة.

6. حساب العرض:

   • نستخدم العلاقة $w = 20 + l$ لحساب العرض.

7. حساب المحيط:

   • المحيط يمكن حسابه بواسطة العلاقة:
     $\text{المحيط} = 2l + w$

القوانين المستخدمة:

1. قانون حساب مساحة المستطيل:
   $A = \text{الطول} \times \text{العرض}$

2. قانون حساب المحيط:
   $\text{المحيط} = 2 \times (\text{الطول} + \text{العرض})$

3. القانون العام لحل المعادلات التربيعية.

4. التحقق من الحل:

   • التأكد من أن القيمة المحسوبة تجعل المعادلة الأصلية صحيحة.

باستخدام هذه القوانين والخطوات المحددة، نستطيع حل المسألة بطريقة دقيقة وفهم أعمق للمفاهيم الرياضية المعنية.