حساب السرعة المتوسطة للقطار (مسألة رياضيات)

القطار يقطع مسافة $x$ كيلومترًا بسرعة 90 كيلومترًا في الساعة ومسافة $2x$ كيلومتر بسرعة 20 كيلومترًا في الساعة. يجب حساب السرعة المتوسطة للقطار أثناء قطعه المسافة الإجمالية $3x$ كيلومتر.

لحساب السرعة المتوسطة، يستخدم النمط الزمني للمعادلة:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{\text{المسافة الإجمالية}}{\text{الزمن الإجمالي}}$

المسافة الإجمالية = $3x$ كيلومتر

الزمن الإجمالي = $\frac{x}{90} + \frac{2x}{20}$ ساعة

الآن، سنحسب السرعة المتوسطة:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3x}{\frac{x}{90} + \frac{2x}{20}}$

لحساب هذه القيمة، يمكننا تبسيط المعادلة. نضرب كل جزء في المقام الثاني في 90 لتجنب الكسور:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3x}{\frac{90x}{x} + \frac{90x}{20}}$

الآن نقوم بإيجاد المشترك الأصغر في المقام:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3x}{\frac{90x + 90x}{20}}$

نجمع الأجزاء في المقام:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3x}{\frac{180x}{20}}$

نقوم بقسمة 180 على 20:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3x}{9x}$

الآن يمكن إلغاء $x$ في البسط والمقام:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3}{9}$

نقلل الكسر:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{1}{3}$

لذا، السرعة المتوسطة للقطار في قطعه للمسافة $3x$ كيلومتر هي $\frac{1}{3}$ من سرعته الأصلية.

لنقم بحساب السرعة المتوسطة للقطار أثناء قطعه للمسافة الإجمالية $3x$ كيلومتر باستخدام القوانين الفيزيائية المعروفة. في هذا السياق، سنستخدم قانون السرعة المتوسطة الذي يعرف بالصيغة:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{\text{المسافة الإجمالية}}{\text{الزمن الإجمالي}}$

المسافة الإجمالية هي $3x$ كيلومتر، والزمن الإجمالي يتألف من الزمن المستغرق في قطع المسافة الأولى ($x$ كيلومتر بسرعة 90 كيلومتر/ساعة) والزمن المستغرق في قطع المسافة الثانية ($2x$ كيلومتر بسرعة 20 كيلومتر/ساعة).

للحصول على الزمن المستغرق في قطع المسافة الأولى، نستخدم العلاقة:

$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$

لذا:

$\text{الزمن الأول} = \frac{x}{90}$

وبنفس الطريقة، الزمن المستغرق في قطع المسافة الثانية:

$\text{الزمن الثاني} = \frac{2x}{20}$

الزمن الإجمالي يكون مجموع الزمنين:

$\text{الزمن الإجمالي} = \text{الزمن الأول} + \text{الزمن الثاني}$

$\text{الزمن الإجمالي} = \frac{x}{90} + \frac{2x}{20}$

الآن، نستخدم الصيغة الأولى لحساب السرعة المتوسطة:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3x}{\frac{x}{90} + \frac{2x}{20}}$

نبسط المعادلة ونقوم بإجراء العمليات الحسابية للوصول إلى الناتج النهائي:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3x}{\frac{90x}{x} + \frac{90x}{20}}$

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3x}{\frac{180x}{20}}$

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3x}{9x}$

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{1}{3}$

القوانين المستخدمة هي قانون السرعة المتوسطة وقانون الزمن والمسافة باستخدام السرعة.