حساب السرعة المتوسطة في النهر

الرجل الذي يتحرك بسرعة 4.5 كيلومتر في الساعة في المياه الساكنة يجذب إلى نقطة تيارية ويعود إلى نقطة البداية في نفس النهر الذي يتدفق بسرعة 0.5 كيلومتر في الساعة. ما هي سرعته المتوسطة للرحلة الكاملة؟

لنقم أولاً بتحديد سرعة القارب في النهر أثناء الذهاب والعودة. سرعته أثناء الذهاب تكون مجموع سرعته في المياه الساكنة وسرعة تدفق النهر، وهذا يعادل 4.5 كيلومتر/س + 0.5 كيلومتر/س = 5 كيلومتر/س. أما أثناء العودة، فإن السرعة تكون الفارق بين سرعة القارب في المياه الساكنة وسرعة تدفق النهر، وهذا يكون 4.5 كيلومتر/س – 0.5 كيلومتر/س = 4 كيلومتر/س.

لحساب السرعة المتوسطة للرحلة الكاملة، يمكننا استخدام الصيغة:

$السرعة المتوسطة = \frac{المسافة الكلية}{الزمن الكلي}$

المسافة الكلية تكون مجموع المسافتين ذهابًا وإيابًا، وهي نفسها، ولنعتبرها $D$ كيلومتر. الزمن الكلي يكون مجموع الأزمنة ذهابًا وإيابًا، ونعتبره $T$ ساعة.

الزمن يمكن حسابه بالصيغة التالية:

$T = \frac{المسافة}{السرعة}$

لذلك:

$T_{\text{ذهاب}} = \frac{D}{5}$

$T_{\text{عودة}} = \frac{D}{4}$

وإذاً:

$T_{\text{كلي}} = T_{\text{ذهاب}} + T_{\text{عودة}}$

$T_{\text{كلي}} = \frac{D}{5} + \frac{D}{4}$

لحساب السرعة المتوسطة:

$السرعة المتوسطة = \frac{D}{T_{\text{كلي}}}$

$السرعة المتوسطة = \frac{D}{\frac{D}{5} + \frac{D}{4}}$

$السرعة المتوسطة = \frac{1}{\frac{1}{5} + \frac{1}{4}}$

$السرعة المتوسطة = \frac{1}{\frac{9}{20}}$

$السرعة المتوسطة = \frac{20}{9}$

إذاً، سرعته المتوسطة للرحلة الكاملة تكون $\frac{20}{9}$ كيلومتر في الساعة.

بالتأكيد، سنقوم الآن بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام قوانين الحركة وقوانين الرياضيات.

لنبدأ بتحديد سرعة القارب في المياه الساكنة وسرعة التيار. لنعتبر سرعة القارب في المياه الساكنة $v$ وسرعة التيار $u$. إذاً، سرعة القارب أثناء الذهاب تكون $v + u$ وأثناء العودة تكون $v – u$.

نعلم أن السرعة تُحسب بالمسافة المقسومة على الزمن، وهي قاعدة أساسية في الحركة. يمكن تعبير الزمن بالصيغة:

$الزمن = \frac{المسافة}{السرعة}$

لنحسب زمن الذهاب والعودة:

$T_{\text{ذهاب}} = \frac{D}{v + u}$

$T_{\text{عودة}} = \frac{D}{v – u}$

الزمن الكلي يكون مجموع الأزمنة:

$T_{\text{كلي}} = T_{\text{ذهاب}} + T_{\text{عودة}}$

$T_{\text{كلي}} = \frac{D}{v + u} + \frac{D}{v – u}$

الآن، سنستخدم قاعدة جمع الكسور لجعل المعامل المشترك في المقام يكون $(v + u)(v – u)$، وهي الفرق بين مربعين:

$T_{\text{كلي}} = \frac{D(v – u)}{(v + u)(v – u)} + \frac{D(v + u)}{(v + u)(v – u)}$

$T_{\text{كلي}} = \frac{D(v – u) + D(v + u)}{(v + u)(v – u)}$

$T_{\text{كلي}} = \frac{2Dv}{v^2 – u^2}$

السرعة المتوسطة تكون المسافة المقسومة على الزمن الكلي:

$السرعة المتوسطة = \frac{D}{T_{\text{كلي}}}$

$السرعة المتوسطة = \frac{v^2 – u^2}{2v}$

القانون المستخدم هنا هو قانون حركة المسافة المتساوية للزمن المتساوي. أيضًا، تم استخدام قاعدة جمع الكسور وتبسيطها.

لتطبيق الأرقام المعطاة في المسألة، يجب وضع القيم الخاصة بسرعة القارب في المياه الساكنة وسرعة التيار في الصيغة النهائية للسرعة المتوسطة.