حساب الزمن لتجاوز القطارات (مسألة رياضيات)

قطاران بطول 500 متر و 750 متر يسيران بسرعة 60 كيلومتر في الساعة و40 كيلومتر في الساعة على مسارات متوازية في اتجاهين معاكسين. مدى الوقت الذي يستغرقهما لتجاوز بعضهما البعض؟

لحل هذه المسألة، نستخدم معادلة السرعة المتجهة النسبية، حيث يكون المسافة المقطوعة هي مجموع الأطوال للقطارين. يمكننا تحويل السرعات إلى وحدة متساوية، مثل المتر في الثانية، ثم نستخدم المعادلة:

$\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$

نقوم بتحويل السرعات إلى متر في الثانية:
$\text{سرعة القطار الأول} = \frac{60 \, \text{كم/س}}{3.6} = 16.67 \, \text{م/ث}$
$\text{سرعة القطار الثاني} = \frac{40 \, \text{كم/س}}{3.6} = 11.11 \, \text{م/ث}$

السرعة المتجهة النسبية:
$\text{السرعة المتجهة} = \text{سرعة القطار الأول} + \text{سرعة القطار الثاني}$
$\text{السرعة المتجهة} = 16.67 \, \text{م/ث} + 11.11 \, \text{م/ث} = 27.78 \, \text{م/ث}$

الزمن:
$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة المتجهة}}$
$\text{الزمن} = \frac{500 \, \text{م} + 750 \, \text{م}}{27.78 \, \text{م/ث}} = 36 \, \text{ثانية}$

إذاً، يستغرق القطاران 36 ثانية لتجاوز بعضهما البعض.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم السرعة المتجهة النسبية ومعادلة الزمن. يتمثل الحل في مراعاة أن القطارين يسيران في اتجاهين متعاكسين، وعندما يتحركان نحو بعضهما البعض، يكون السرعة المتجهة هي مجموع سرعتي القطارين.

قانون السرعة المتجهة النسبية:
$\text{السرعة المتجهة} = \text{سرعة الجسم الأول} + \text{سرعة الجسم الثاني}$

في هذه المسألة:
$\text{السرعة المتجهة} = \text{سرعة القطار الأول} + \text{سرعة القطار الثاني}$

ثم نستخدم معادلة الزمن:
$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة المتجهة}}$

نقوم بتحويل السرعات إلى نفس الوحدة، وفي هذه الحالة، سنقوم بتحويلها إلى متر في الثانية لأن المسافة معطاة في متر.

$\text{سرعة القطار الأول} = \frac{60 \, \text{كم/س}}{3.6} = 16.67 \, \text{م/ث}$
$\text{سرعة القطار الثاني} = \frac{40 \, \text{كم/س}}{3.6} = 11.11 \, \text{م/ث}$

$\text{السرعة المتجهة} = 16.67 \, \text{م/ث} + 11.11 \, \text{م/ث} = 27.78 \, \text{م/ث}$

ثم نستخدم معادلة الزمن:
$\text{الزمن} = \frac{500 \, \text{م} + 750 \, \text{م}}{27.78 \, \text{م/ث}} = 36 \, \text{ثانية}$

في هذا الحل، استخدمنا قانون السرعة المتجهة النسبية ومعادلة الزمن. يهمنا أن نحول الوحدات بدقة للحصول على الإجابة بالوحدة المناسبة.