حساب الزمن لإكمال العمل (مسألة رياضيات)

a يستغرق 5 أيام لإكمال العمل بمفرده، في حين يحتاج b إلى 10 أيام لإنجاز نفس العمل بمفرده. عندما يبدأ a العمل وينضم b إليه بعد مرور 2 أيام، يتسائلون كم يستغرقون لإكمال العمل المتبقي.

لنحسب معدل أداء كل من a و b. يتمثل معدل أداء الفرد في الكمية من العمل الذي يقوم به في اليوم الواحد. إذا كان a يستغرق 5 أيام للقيام بالعمل الكامل، فإن معدل أداءه هو 1/5 من العمل في اليوم الواحد. بالمثل، إذا كان b يحتاج إلى 10 أيام للانتهاء من العمل، فإن معدل أداءه هو 1/10 من العمل في اليوم الواحد.

عندما يعمل a و b معًا، يجب أن نجمع معدلات أدائهما للحصول على معدل أداءهما الجماعي. لدينا:

معدل أداء a + معدل أداء b = 1/5 + 1/10

لحساب المعدل الجماعي، نجمع الكسور. يمكننا تحويل الكسور إلى وحدة مشتركة بضرب الجهاز والبسيط في 10:

(2/10) + (1/10) = 3/10

إذاً، المعدل الجماعي ل a و b هو 3/10 من العمل في اليوم الواحد.

الآن، بعد أن عمل a لمدة 2 أيام بمعدل 1/5، أكمل 2 × (1/5) = 2/5 من العمل. بعد ذلك، انضم b وبدأوا معًا بمعدل 3/10. لحساب الوقت الذي يستغرقونه لإكمال العمل المتبقي، نستخدم العلاقة التالية:

الوقت = العمل المتبقي / المعدل الجماعي

الوقت = (1 – 2/5) / (3/10)

لتبسيط الحسابات، نقوم بضرب الكسر العلوي والسفلي في 10:

الوقت = (10/5 – 2)/3

الوقت = (8/5) / (3/10)

لضرب الكسر الثاني في معكوس الكسر الأول، نقوم بضرب في 10/3:

الوقت = (8/5) × (10/3)

نقوم بضرب الأعداد معًا:

الوقت = 16/1

إذاً، يستغرقون 16 أيومًا لإكمال العمل المتبقي عندما يعملون معًا.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم معدل الأداء ونطبق القوانين الرياضية الأساسية.

لنحسب معدل أداء a و b، نستخدم العلاقة التالية:
$\text{معدل أداء} = \frac{\text{العمل المنجز}}{\text{الزمن المستغرق}}$

لنعبر عن زمن العمل بوحدة الأيام، سنستخدم مفهوم “العمل الكلي” الذي يكون معادلًا لـ 1. إذاً:

$\text{معدل أداء a} = \frac{1}{5} \quad \text{و} \quad \text{معدل أداء b} = \frac{1}{10}$

عندما يعملون معًا، يجب أن نجمع معدلات أدائهما للحصول على معدل أداءهما الجماعي. إذاً:

$\text{معدل أداء a و b} = \text{معدل أداء a} + \text{معدل أداء b} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$

نجمع الكسور:
$\text{معدل أداء a و b} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$

الآن، بعد أن عمل a لمدة 2 أيام، أنجز $2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ من العمل. العمل المتبقي يكون $1 – \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

لحساب الوقت الذي يستغرقونه لإكمال العمل المتبقي، نستخدم العلاقة التالية:
$\text{الوقت} = \frac{\text{العمل المتبقي}}{\text{المعدل الجماعي}}$

وباستخدام القوانين الرياضية الأساسية، يمكننا تبسيط العمل كالتالي:
$\text{الوقت} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{3}{10}}$

لضرب الكسر الثاني في معكوس الكسر الأول، نقوم بضرب في $\frac{10}{3}$:
$\text{الوقت} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{3}$

نقوم بضرب الأعداد معًا:
$\text{الوقت} = \frac{30}{15}$

نبسط الكسر:
$\text{الوقت} = 2$

إذاً، يستغرقون 2 أيام لإكمال العمل المتبقي عندما يعملون معًا.

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. معدل الأداء = العمل المنجز / الزمن المستغرق
2. العمل الكلي يعادل 1 (كوحدة)
3. لجمع الكسور، يجب أن يكون لديها نفس المقام.