حساب الرموز الثنائية: تحليل وضرب (مسألة رياضيات)

نريد حساب ناتج التعبير الرياضي التالي:

$\binom{9}{2} \times \binom{7}{2}$

حيث $\binom{n}{r}$ تعبّر عن الرمز الثنائي وهو عدد الطرق التي يمكن اختيار $r$ عناصر من بين مجموعة مؤلفة من $n$ عنصر. يمكن حساب الرمز الثنائي بواسطة الصيغة:

$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

حيث $n!$ هو عامل التشغيل العامل للعدد $n$ ويمثل الضرب من 1 إلى $n$.

لذا، يمكننا حساب القيم الثنائية في التعبير على النحو التالي:

$\binom{9}{2} = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

$\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

ثم نقوم بضرب القيمتين معًا:

$36 \times 21 = 756$

إذاً، ناتج تقدير التعبير $\binom{9}{2} \times \binom{7}{2}$ هو 756.

لحساب القيمة $\binom{9}{2} \times \binom{7}{2}$، سنقوم بتفصيل الحل واستخدام القوانين المتعلقة بالرموز الثنائية والعوامل التشغيلية.

أولاً، سنحسب قيمة $\binom{9}{2}$ باستخدام الصيغة:

$\binom{9}{2} = \frac{9!}{2!(9-2)!}$

حيث $9!$ هو 9 عامل التشغيل العامل، وهو يمثل الضرب من 1 إلى 9. كذلك، $2!$ هو عامل التشغيل العامل للعدد 2، و$(9-2)!$ هو عامل التشغيل العامل للعدد $9-2$، أي 7. لنحسب القيم:

$\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

ثم، سنحسب قيمة $\binom{7}{2}$ باستخدام نفس الصيغة:

$\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!}$

حيث $7!$ هو 7 عامل التشغيل العامل، و$2!$ هو عامل التشغيل العامل للعدد 2، و$(7-2)!$ هو عامل التشغيل العامل للعدد $7-2$، أي 5. لنحسب القيم:

$\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

الآن، سنقوم بضرب القيمتين معًا:

$36 \times 21 = 756$

إذاً، الناتج النهائي للتعبير $\binom{9}{2} \times \binom{7}{2}$ هو 756.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. صيغة الرمز الثنائي:
   $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

2. عامل التشغيل العامل ($n!$):
   هو الضرب من 1 إلى $n$.

3. الضرب:
   استخدمنا الضرب لضرب القيمتين $\binom{9}{2}$ و$\binom{7}{2}$ معًا.