حساب الرقم الواحد في الوحدات (مسألة رياضيات)

ما هو الرقم الواحد في الوحدات لمجموع $1! + 2! + 3! + … + 2006!$؟

حل المسألة:
لحساب الرقم الواحد في الوحدات للمجموع المعطى، يجب أولاً حساب قيمة كل عامل واحد من عوامل الجمع.

$1! = 1$

$2! = 2 \times 1 = 2$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

وهكذا…

تلاحظ أن العوامل الواحدة في عوامل الجمع القادمة بعد العامل 4 هي 0. فمن $5!$ إلى $2006!$، سيكون العدد الواحد في الوحدات لهذه الأعداد هو 0.

لذا، يمكننا حساب المجموع الإجمالي للأعداد من $1!$ إلى $4!$ والتركيز على الرقم الواحد في الوحدات للمجموع.

$1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33$

الآن، يتبقى لدينا العدد 33. ونريد فقط النظر إلى الرقم الواحد في الوحدات له.

الآن، إذا قمنا بتحليل ما يحدث عندما نقسم 33 على 10:

$33 \div 10 = 3 والباقي 3$

الباقي هو 3. لذا، الرقم الواحد في الوحدات لمجموع $1! + 2! + 3! + … + 2006!$ هو 3.

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم مفهوم الرقم الواحد في الوحدات وكيفية تغيير الأعداد مع تكرار العمليات الحسابية. سنقوم بتحليل الأعداد بشكل تدريجي باستخدام قوانين الحساب والخوارزميات البسيطة.

للبداية، لنحسب قيمة كل عامل واحد في المجموع:

$1! = 1$

$2! = 2 \times 1 = 2$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

الآن، لاحظ أن عندما نقوم بضرب أي عدد كبير بالفاكتوريال، فإن الناتج سيكون بالتأكيد ينتهي بصفر إذا كان العدد يحتوي على عوامل كبيرة كافية لتكوين عامل واحد ذو قيمة 10.

بمعنى آخر، لا يهم كم كبيرة هي القيمة التي نقوم بحساب الفاكتوريال لها، ستكون الوحدات دائمًا صفر.

الآن، لنحسب المجموع:

$1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33$

الآن، ماذا يحدث عندما نقوم بقسم 33 على 10؟ ستكون النتيجة 3 مع باقي 3. هذا يعني أن الرقم الواحد في الوحدات للمجموع $1! + 2! + 3! + … + 2006!$ هو 3.

قوانين الحساب المستخدمة هنا هي:

1. قانون ضرب الأعداد: يتم ضرب الأعداد للحصول على الناتج.
2. قانون القسمة: يتم تقسيم الأعداد للحصول على الناتج والباقي.
3. قانون الفاكتوريال: يتم ضرب الأعداد بالتسلسل للحصول على الفاكتوريال.

هذه القوانين البسيطة تساعدنا في فهم كيفية تحليل الأعداد وإجراء العمليات الحسابية للوصول إلى الإجابة المطلوبة.