حساب الدين بفائدة مركبة: حلاقته ودفعه السنوي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
ما هو الدفع السنوي الذي سيسد دينًا قدره 1025 روبية في غضون عامين بسعر فائدة مركبة قدره 5٪؟

الحل:
لحساب الدفع السنوي الذي يسد الدين في غضون عامين بسعر فائدة مركبة، يمكننا استخدام صيغة قيمة المستقبل (Future Value) للديون. تأخذ هذه الصيغة الشكل التالي:

$FV = PV \times (1 + r)^n$

حيث:

• $FV$ هو قيمة المستقبل للدين بعد نهاية المدة.
• $PV$ هو القيمة الحالية للدين.
• $r$ هو معدل الفائدة السنوي ككسب مئوي.
• $n$ هو عدد الفترات (سنوات في هذه الحالة).

في هذه المسألة:

• $PV = 1025$ روبية (الدين الحالي).
• $r = 5\%$ أو $0.05$ (معدل الفائدة السنوي ككسب مئوي).
• $n = 2$ (عدد السنوات).

وباستخدام هذه القيم في الصيغة، نحسب قيمة المستقبل ($FV$) للدين بعد نهاية الفترة المحددة:

$FV = 1025 \times (1 + 0.05)^2$

$FV = 1025 \times (1.05)^2$

$FV = 1025 \times 1.1025$

$FV = 1130.81$

إذاً، قيمة المستقبل للدين بعد عامين تكون حوالي 1130.81 روبية.

وبما أننا نريد حساب الدفع السنوي الذي يسد هذا الدين، يمكننا استخدام صيغة القيمة الحالية (Present Value) للدين. تأخذ هذه الصيغة الشكل التالي:

$PV = \frac{FV}{(1 + r)^n}$

نستخدم القيم التي حسبناها في الصيغة:

$PV = \frac{1130.81}{(1 + 0.05)^2}$

$PV = \frac{1130.81}{1.1025}$

$PV = 1025$

إذاً، قيمة الدين الحالي هي 1025 روبية. وبما أنه نريد حساب الدفع السنوي، فإن الإجابة النهائية هي 1025 روبية.

بالطبع، دعونا نقدم تفاصيل أكثر لحل المسألة ونُشير إلى القوانين المستخدمة في الحل.

التفاصيل والحل:

القوانين المستخدمة:

1. صيغة قيمة المستقبل (Future Value):
   $FV = PV \times (1 + r)^n$

2. صيغة القيمة الحالية (Present Value):
   $PV = \frac{FV}{(1 + r)^n}$

التفاصيل:

1. تحديد القيم المعطاة:

   • $PV$ (القيمة الحالية للدين) = 1025 روبية.
   • $r$ (معدل الفائدة السنوي ككسب مئوي) = 5٪ أو $0.05$.
   • $n$ (عدد السنوات) = 2.

2. حساب قيمة المستقبل (Future Value):
   $FV = 1025 \times (1 + 0.05)^2$
   $FV = 1025 \times (1.05)^2$
   $FV = 1025 \times 1.1025$
   $FV = 1130.81$

   قيمة المستقبل ($FV$) بعد عامين هي حوالي 1130.81 روبية.

3. حساب القيمة الحالية (Present Value):
   $PV = \frac{1130.81}{(1 + 0.05)^2}$
   $PV = \frac{1130.81}{1.1025}$
   $PV = 1025$

   قيمة الدين الحالي ($PV$) هي 1025 روبية.

4. الإجابة النهائية:
   الدفع السنوي الذي سيسد هذا الدين يكون مساويًا للقيمة الحالية للدين، والتي هي 1025 روبية.

الاستنتاج:

لحساب الدفع السنوي الذي يسد دينًا في ظل فائدة مركبة، تم استخدام صيغة قيمة المستقبل وصيغة القيمة الحالية. القيم الحالية والمعدلات المعطاة تمثل البيانات الرئيسية في الحسابات.