حساب الديترمينانت وتحديد قيمة X (مسألة رياضيات)

إذا كانت قيمة $\det \mathbf{A}$ تساوي $X$، فما هو قيمة $\det (\mathbf{A}^3)$؟ والإجابة المعطاة هي 125. ما هي قيمة المتغير المجهول X؟

لنقم بحساب $\det (\mathbf{A}^3)$:

نعلم أنه إذا كانت $\det \mathbf{B} = Y$، فإن $\det (\mathbf{B}^n) = Y^n$، حيث $n$ عدد صحيح إيجابي.

في هذه الحالة، نملك $\det (\mathbf{A}^3) = X^3$.

ووفقًا للمعطى في السؤال، نعلم أن قيمة $\det (\mathbf{A}^3)$ تكون 125.

إذاً:

$X^3 = 125$

لحل هذه المعادلة، نعرف أن القيمة المميزة (الجذر التكعيبي) لـ 125 هي 5، لأن $5^3 = 125$.

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 5.

باختصار، إذا كانت قيمة $X$ في المصفوفة $\mathbf{A}$ هي 5، فإن قيمة $\det (\mathbf{A}^3)$ تكون 125.

لحل هذه المسألة، سنستخدم عدة قوانين وخوارزميات متعلقة بحساب المصفوفات. دعونا نركز على الخطوات الرئيسية والقوانين المستخدمة في هذا الحل.

المعطيات:

• $\det \mathbf{A} = X$
• نريد حساب $\det (\mathbf{A}^3)$
• تم تقديم الإجابة المتوقعة: $\det (\mathbf{A}^3) = 125$

الخطوة 1: حساب $\det (\mathbf{A}^3)$

نعلم أنه عند رفع المصفوفة $\mathbf{A}$ إلى القوة الثالثة، فإننا نضرب المصفوفة في نفسها مرتين إضافة إلى المرة الأصلية. لذلك:

$\det (\mathbf{A}^3) = \det (\mathbf{A} \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{A})$

وحسب قاعدة ضرب المصفوفات، يمكن تجميع الديترمينانت على شكل حاصل ضرب الديترمينانت لكل مصفوفة. يعني ذلك:

$\det (\mathbf{A}^3) = \det (\mathbf{A}) \cdot \det (\mathbf{A}) \cdot \det (\mathbf{A})$

ونعلم أن $\det \mathbf{A} = X$، لذا:

$\det (\mathbf{A}^3) = X \cdot X \cdot X = X^3$

الخطوة 2: تحديد قيمة $X$

وفقًا للمعطى في السؤال، قيمة $\det (\mathbf{A}^3)$ هي 125. إذاً:

$X^3 = 125$

هنا يتم استخدام خاصية حساب الجذر التكعيبي، حيث يكون $X$ يساوي الجذر التكعيبي للقيمة المعطاة (125):

$X = \sqrt[3]{125} = 5$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة ضرب المصفوفات: $\det (\mathbf{AB}) = \det (\mathbf{A}) \cdot \det (\mathbf{B})$
2. تأثير رفع المصفوفة إلى القوة: $\det (\mathbf{A}^n) = (\det \mathbf{A})^n$

بهذه الطريقة، نستخدم القوانين الأساسية لحساب المصفوفات والديترمينانت للوصول إلى الحلا المطلوب للمسألة.