إذا كانت f(x)=4x+5، فما هو f−1(f−1(9))؟
حل المسألة:
لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق الدوال العكسية. أولاً، نجد الدالة العكسية f−1(x) للدالة f(x)=4x+5.
لإيجاد الدالة العكسية، نبدأ بتعويض f(x) بـ y ونقوم بتبديل الـ x والـ y في العلاقة:
y=4x+5
نقوم الآن بحل المعادلة للحصول على x بدلاً من y:
x=4y−5
ثم، نقوم بتبديل x و y للحصول على الدالة العكسية f−1(x):
f−1(x)=4x−5
الآن، نحتاج إلى حساب f−1(9). نعوض x بـ 9 في الدالة العكسية:
f−1(9)=49−5=44=1
الآن، عندما تكون قيمة f−1(9) هي 1، نحتاج إلى حساب f−1(f−1(9)). نقوم بإعادة استخدام الدالة العكسية:
f−1(f−1(9))=f−1(1)
نستخدم الدالة العكسية f−1(x) للحصول على x عندما f(x)=1:
f−1(1)=41−5=−1
إذاً، قيمة f−1(f−1(9)) هي −1.
لحل المسألة f−1(f−1(9))، نحتاج إلى فهم مفهوم الدوال العكسية وتطبيق القوانين المتعلقة بها.
أولاً، نفهم ما هي الدوال العكسية:
- الدالة العكسية f−1(x) هي الدالة التي إذا قمنا بتطبيقها على نتائج دالة f(x) فإننا نحصل على القيمة الأصلية للمتغير x. بمعنى آخر، إذا كان y=f(x)، فإن f−1(y)=x.
الآن، لنحل المسألة:
- الخطوة الأولى: إيجاد الدالة العكسية f−1(x) للدالة f(x)=4x+5.
- الخطوة الثانية: استخدام الدالة العكسية لحساب f−1(9).
- الخطوة الثالثة: استخدام الدالة العكسية مرة أخرى لحساب f−1(f−1(9)).
الآن، لنبدأ بتطبيق الخطوات:
-
إيجاد الدالة العكسية f−1(x):
لحساب الدالة العكسية، نقوم بتبديل الـ x والـ y في الدالة f(x)، ثم نحل المعادلة للحصول على x بدلاً من y. بعد ذلك، نقوم بتبديل x و y للحصول على الدالة العكسية f−1(x).
في هذه الحالة:
y=4x+5
x=4y−5
f−1(x)=4x−5
-
حساب f−1(9):
نقوم بتعويض x بـ 9 في الدالة العكسية f−1(x)، وهذا يعني:
f−1(9)=49−5=44=1
-
حساب f−1(f−1(9)):
الآن، بما أن f−1(9)=1، نحتاج إلى حساب f−1(1) باستخدام الدالة العكسية f−1(x):
f−1(1)=41−5=−1
باستخدام القوانين المتعلقة بالدوال العكسية وتطبيقها على الدالة f(x) والدالة العكسية f−1(x)، وبعد عدة خطوات، وصلنا إلى النتيجة النهائية التي هي f−1(f−1(9))=−1.
