حساب الدالة العكسية وقاعدة b (مسألة رياضيات)

الدالة المعطاة هي $f(x) = \frac{1}{2x + b}$. نريد حساب الدالة العكسية $f^{-1}(x)$ وتحديد قيمة $b$ التي تجعل $f^{-1}(x) = \frac{1-2x}{2x}$.

لحساب الدالة العكسية $f^{-1}(x)$، نقوم بتبديل $f(x)$ بـ $y$ و $x$ بـ $f^{-1}(x)$ ونقوم بحل المعادلة للحصول على $f^{-1}(x)$:

\begin{align*}
y &= \frac{1}{2x + b} \
x &= \frac{1}{2y + b} \
2xy + bx &= 1 \
2xy &= 1 – bx \
y &= \frac{1 – bx}{2x}
\end{align*}

لذا، $f^{-1}(x) = \frac{1 – bx}{2x}$.

الآن، نقارن هذه الدالة بالدالة المعطاة $f^{-1}(x) = \frac{1-2x}{2x}$ ونحدد قيمة $b$:

\begin{align*}
\frac{1 – bx}{2x} &= \frac{1-2x}{2x} \
1 – bx &= 1 – 2x \
bx &= 2x \
b &= 2
\end{align*}

إذاً، القيمة التي تجعل الدالة العكسية تساوي $\frac{1-2x}{2x}$ هي $b = 2$.

لحل هذه المسألة، استخدمنا عدة خطوات وقوانين رياضية. دعونا نلقي نظرة أعمق على الحل:

1. تحديد الدالة العكسية:
   نبدأ بتحديد الدالة العكسية $f^{-1}(x)$. قمنا بتبديل $f(x)$ بـ $y$ و $x$ بـ $f^{-1}(x)$، ثم قمنا بحل المعادلة للحصول على $f^{-1}(x)$:

   \begin{align*}
   y &= \frac{1}{2x + b} \
   x &= \frac{1}{2y + b} \
   2xy + bx &= 1 \
   2xy &= 1 – bx \
   y &= \frac{1 – bx}{2x}
   \end{align*}

2. مقارنة الدالتين:
   قارنا الدالة العكسية $f^{-1}(x)$ التي حصلنا عليها مع الدالة المعطاة $f^{-1}(x) = \frac{1-2x}{2x}$.

   \begin{align*}
   \frac{1 – bx}{2x} &= \frac{1-2x}{2x} \
   1 – bx &= 1 – 2x \
   bx &= 2x \
   b &= 2
   \end{align*}

3. القوانين المستخدمة:

   • قانون التبديل في حساب الدالة العكسية:
     استخدمنا قانون التبديل لتحديد الدالة العكسية، حيث قمنا بتبديل $f(x)$ بـ $y$ و $x$ بـ $f^{-1}(x)$ للحصول على معادلة يمكن حلها.

   • قوانين الجمع والطرح والضرب:
     قمنا بتطبيق قوانين الجمع والطرح والضرب أثناء حساب المعادلة للحصول على تعبير نهائي للدالة العكسية.

   • قوانين المساواة:
     استخدمنا قوانين المساواة للتلاعب بالمعادلات وتحديد القيمة التي تجعل الدالتين متساويتين.

باستخدام هذه القوانين، تمكنا من تحديد القيمة التي تجعل الدالة العكسية متساوية للدالة المعطاة، وهي $b = 2$.