حساب الدالة العكسية: حلاً للمعادلات (مسألة رياضيات)

الدالة المعطاة هي $f(x) = \frac{1}{ax+b}$ حيث $a$ و $b$ هما ثوابت غير صفر. نريد إيجاد الدالة العكسية $f^{-1}(x)$ وحل المعادلة $f^{-1}(x) = X$.

لحساب الدالة العكسية، نقوم بتبديل $f(x)$ بـ $y$ ونقوم بحل المعادلة للحصول على $x$:
$y = \frac{1}{ax+b}$

نقوم بتبديل $y$ بـ $x$:
$x = \frac{1}{ay+b}$

نقوم بحل المعادلة الناتجة للحصول على الدالة العكسية:
$\frac{1}{ay+b} = x$

نقوم بتبديل $x$ بـ $f^{-1}(x)$:
$f^{-1}(x) = \frac{1}{ax+b}$

الآن، نقوم بحل المعادلة $f^{-1}(x) = X$:
$\frac{1}{ax+b} = X$

نقوم بتبديل $f^{-1}(x)$ بـ $\frac{1}{ax+b}$:
$\frac{1}{ax+b} = X$

نقوم بحساب المعكوس التربيعي للجهة اليمنى:
$ax+b = \frac{1}{X}$

نقوم بحساب $x$:
$x = \frac{1}{a(\frac{1}{X}) – b}$

نقوم بتوسيع المعادلة:
$x = \frac{X}{a – bX}$

وبالتالي، إذا كانت الإجابة المعطاة هي $\frac{1}{b}$، فإن القيمة المجهولة $X$ تكون:
$X = \frac{1}{a – \frac{1}{b}}$

وهذا هو الحل المطلوب بالنسبة للقيمة المجهولة $X$ في سياق هذه المسألة الرياضية.

نظرًا لأننا نتعامل مع الدالة $f(x) = \frac{1}{ax+b}$ ونرغب في إيجاد الدالة العكسية $f^{-1}(x)$، يجب أولاً أن نحل المعادلة $y = \frac{1}{ax+b}$ للحصول على $x$ بصورة صحيحة.

لحساب الدالة العكسية، نقوم بتبديل $f(x)$ بـ $y$ ونقوم بحل المعادلة للحصول على $x$:
$y = \frac{1}{ax+b}$

نقوم بتبديل $y$ بـ $x$:
$x = \frac{1}{ay+b}$

نقوم بحل المعادلة الناتجة للحصول على الدالة العكسية:
$\frac{1}{ay+b} = x$

نقوم بتبديل $x$ بـ $f^{-1}(x)$:
$f^{-1}(x) = \frac{1}{ax+b}$

الآن، نقوم بحل المعادلة $f^{-1}(x) = X$:
$\frac{1}{ax+b} = X$

نقوم بتبديل $f^{-1}(x)$ بـ $\frac{1}{ax+b}$:
$\frac{1}{ax+b} = X$

نقوم بحساب المعكوس التربيعي للجهة اليمنى:
$ax+b = \frac{1}{X}$

نقوم بحساب $x$:
$x = \frac{1}{a(\frac{1}{X}) – b}$

نقوم بتوسيع المعادلة:
$x = \frac{X}{a – bX}$

وبالتالي، إذا كانت الإجابة المعطاة هي $\frac{1}{b}$، فإن القيمة المجهولة $X$ تكون:
$X = \frac{1}{a – \frac{1}{b}}$

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي قوانين الدوال العكسية وحساب المعادلات الرياضية. استخدمنا خاصية الدالة العكسية للوصول إلى $f^{-1}(x)$ وحلنا المعادلة بمراحل للوصول إلى القيمة المجهولة $X$.