حساب الجيب الزائد: زاوية 225 درجة (مسألة رياضيات)

قمت بتعديل السؤال وإعادة صياغته بشكل مترجم، وسأقوم الآن بحل المسألة:

المسألة:
ما هو قيمة الجيب الزائد لزاوية 225 درجة؟

الحل:
لحساب الجيب الزائد لزاوية 225 درجة، يمكننا استخدام الدالة الجيبية المتباينة، والتي تعبر عنها الجيب الزائد (Cosecant) بصيغة النسبة المقلوبة للجيب (Sine)، أي:
$\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$

لحساب قيمة الجيب الزائد لزاوية 225 درجة، يجب أولاً تحديد الجيب للزاوية نفسها. نعلم أن الزاوية 225 درجة تقع في الربع الثالث (Q3) من الدائرة الوحدية، حيث يكون الجيب (Sine) سالبًا. لحسابها:
$\sin(225^\circ) = -\sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin(45^\circ)$

نعلم أن قيمة الجيب (Sine) للزاوية 45 درجة تكون معروفة وتساوي $\frac{\sqrt{2}}{2}$. إذاً:
$\sin(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

الآن، يمكننا حساب الجيب الزائد (Cosecant) بالاستفادة من الصيغة السابقة:
$\csc(225^\circ) = \frac{1}{\sin(225^\circ)} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$

لحساب القيمة النهائية، نقوم بضرب الكسر في وحدة:
$\csc(225^\circ) = -\frac{2}{\sqrt{2}}$

لتبسيط الكسر، نقوم بضربه في جذر 2 في البسط والمقام:
$\csc(225^\circ) = -\frac{2 \times \sqrt{2}}{2}$

نلاحظ أن 2 في البسط والمقام يتجاوزان بعضهما، وبالتالي:
$\csc(225^\circ) = -\sqrt{2}$

إذاً، قيمة الجيب الزائد لزاوية 225 درجة هي $-\sqrt{2}$.

لحل المسألة واستنتاج قيمة الجيب الزائد (Cosecant) للزاوية 225 درجة، نقوم بمجموعة من الخطوات ونعتمد على بعض القوانين والمفاهيم الهامة في الجبر والهندسة الزاويّة. سأقوم بشرح الحل بمزيدٍ من التفاصيل:

1. تحديد الزاوية:
نعلم أن الزاوية المطلوب حساب جيبها تكون 225 درجة. يمكن تمثيل هذه الزاوية في الدائرة الوحدية بالربع الثالث (Q3)، حيث يكون الجيب (Sine) سالبًا.

2. استخدام قاعدة الزوايا:
نستخدم قاعدة الزوايا لتحويل زاوية 225 درجة إلى مجموعة زوايا أصغر. في هذه الحالة، نقوم بتحويلها إلى مجموعة زاويا مكملة بحيث تكون الزاوية الكلية 180 درجة مع زاوية إضافية 45 درجة. يمكن كتابتها على النحو التالي:
$225^\circ = 180^\circ + 45^\circ$

3. استخدام الدوال الزاوجية:
نستفيد من خاصية الدوال الزاوجية للجيب (Sine) في الربع الثالث، حيث نعلم أن:
$\sin(180^\circ + \theta) = -\sin(\theta)$

في حالتنا، إذاً:
$\sin(225^\circ) = -\sin(45^\circ)$

4. قيمة الجيب للزاوية الفرعية:
نعلم أن قيمة الجيب (Sine) للزاوية 45 درجة تكون معروفة وتساوي $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

5. استخدام صيغة الجيب الزائد (Cosecant):
صيغة الجيب الزائد تعبر عن النسبة المقلوبة للجيب (Sine):
$\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$

نستخدم هذه الصيغة لحساب الجيب الزائد للزاوية 225 درجة:
$\csc(225^\circ) = \frac{1}{-\sin(45^\circ)}$

6. التبسيط الجبري:
نقوم بتبسيط الكسر، حيث نضرب البسط والمقام في -1 لتحويل الجيب (Sine) إلى سالب:
$\csc(225^\circ) = -\frac{1}{\sin(45^\circ)}$

نعلم أن $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$، إذاً:
$\csc(225^\circ) = -\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

نقوم بضرب الكسر في وحدة:
$\csc(225^\circ) = -\frac{2}{\sqrt{2}}$

لتبسيط الكسر، نضرب البسط والمقام في $\sqrt{2}$:
$\csc(225^\circ) = -\frac{2 \times \sqrt{2}}{2}$

يمكننا التبسيط بمقارنة العوامل المشتركة في البسط والمقام:
$\csc(225^\circ) = -\sqrt{2}$

إذاً، قيمة الجيب الزائد لزاوية 225 درجة هي $-\sqrt{2}$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الزوايا.
2. خاصية الدوال الزاوجية للجيب (Sine).
3. صيغة الجيب الزائد (Cosecant).
4. التبسيط الجبري.