حساب الجمع المشترك: قوانين وتطبيقات (مسألة رياضيات)

قيمة $\dbinom{8}{2}$ تمثل عدد الطرق التي يمكن بها اختيار مجموعة مؤلفة من 2 عناصر من مجموعة مؤلفة من 8 عناصر، ويتم حساب هذه القيمة باستخدام صيغة الجمع المشترك.

صيغة الجمع المشترك، الممثلة بالرمز $\dbinom{n}{k}$، حيث $n$ يمثل عدد العناصر الكلي في المجموعة، و $k$ يمثل عدد العناصر التي سنختارها، مُعرفة بالتالي:

$\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث $n!$ تمثل عامليال التسلسل للعدد $n$.

لحساب قيمة $\dbinom{8}{2}$، نقوم بتعويض $n = 8$ و $k = 2$ في الصيغة:

$\dbinom{8}{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!}$

الآن سنحسب القيمة:

$\dbinom{8}{2} = \frac{8!}{2!6!}$

نبسط العوامل في القسمة:

$\dbinom{8}{2} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!}$

تُبسط عوامل $6!$:

$\dbinom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1}$

نقوم بالحساب:

$\dbinom{8}{2} = \frac{56}{2} = 28$

لذا، قيمة $\dbinom{8}{2}$ هي 28، وهذا يُمثّل عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة مؤلفة من 2 عناصر من مجموعة مؤلفة من 8 عناصر.

لحساب قيمة $\dbinom{8}{2}$ وتوضيح القوانين المستخدمة في الحل، يُمكننا الاعتماد على مفهوم الاختيارات المتاحة والترتيبات الممكنة في الرياضيات، بما في ذلك قوانين المجموعات والترتيبات. القوانين الأساسية المستخدمة هي:

1. قانون الجمع المشترك (Combination Rule): هذا القانون يحدد عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة من $k$ عناصر من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصر. يُمثّل هذا بالصيغة $\dbinom{n}{k}$.

2. صيغة التحليل الكامل (Factorial Rule): حيث أن $n!$ هو العامليال التسلسل للعدد $n$ وتمثل عدد الطرق الممكنة لترتيب $n$ عناصر.

3. قانون العدد الإجمالي (Addition Principle): يستخدم هذا القانون لحساب الإجمالي عندما يكون لدينا اختيارات متعددة يمكن أن تحدث بشكل مستقل.

لحساب $\dbinom{8}{2}$، نستخدم قانون الجمع المشترك، حيث:

$\dbinom{8}{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!}$

الخطوات لحساب قيمة $\dbinom{8}{2}$ هي كالتالي:

1. نبدأ بحساب $8!$، أي عامليال التسلسل للعدد 8، وهو $(8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)$.

2. نحسب $2!$، أي عامليال التسلسل للعدد 2، وهو $(2 \times 1)$.

3. نحسب $(8-2)!$، أي عامليال التسلسل للعدد 6، وهو $(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)$.

4. نقوم بتقسيم $8!$ على حاصل ضرب $2! \times (8-2)!$.

5. نبسط التعبير ونحسب القيمة النهائية.

بعد الحسابات، نصل إلى أن قيمة $\dbinom{8}{2}$ تساوي 28. هذا يعني أن هناك 28 طريقة ممكنة لاختيار مجموعة من 2 عنصر من بين مجموعة تحتوي على 8 عناصر.