حساب الجزء الحقيقي لتعبير مركب (مسألة رياضيات)

إذا كان $z$ عدد مركب غير حقيقي بحيث $|z| = 1$، فما هو الجزء الحقيقي للتعبير $\frac{1}{1 – z}$؟

لحل هذه المسألة، نستخدم الخاصية المهمة في الأعداد المركبة وهي صيغة مضاعف العكس.

من الخاصية المعروفة للأعداد المركبة، نعلم أن العدد المركب $z$ يمكن تمثيله بالصورة $z = x + yi$، حيث $x$ هو الجزء الحقيقي للعدد $z$، و$y$ هو الجزء الخيالي له.

بما أن $|z| = 1$، فإننا نعلم أن $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = 1$. ولكن لأن $z$ عدد مركب غير حقيقي، فإننا نعرف أن $x \neq 1$.

الآن، لنقوم بحساب الجزء الحقيقي للتعبير $\frac{1}{1 – z}$.
$\frac{1}{1 – z} = \frac{1}{1 – (x + yi)} = \frac{1}{1 – x – yi}$

لحساب الجزء الحقيقي لهذا التعبير، نحاول تخليص البسط والمقام من العملية. يمكننا فعل ذلك عن طريق ضرب البسط والمقام في مجمع متشابه للمقام، وهو $1 – x + yi$.
$\frac{1}{1 – x – yi} \times \frac{1 – x + yi}{1 – x + yi}$
$= \frac{1 – x + yi}{(1 – x)^2 + y^2}$

الآن، نريد حساب الجزء الحقيقي، وهو الجزء الذي يقابل العدد الحقيقي في الصورة المركبة. لذلك، نركز فقط على الجزء الحقيقي في البسط، وهو $(1 – x)$.
$= \frac{1 – x}{(1 – x)^2 + y^2}$

وهذا هو الجزء الحقيقي للتعبير $\frac{1}{1 – z}$.

لحل المسألة وايجاد الجزء الحقيقي للتعبير $\frac{1}{1 – z}$ حيث $z$ عدد مركب غير حقيقي و $|z| = 1$، نحتاج إلى استخدام بعض الخواص الأساسية للأعداد المركبة والعمليات الجبرية. هنا هي الخطوات بالتفصيل:

1. تمثيل $z$ بشكل عام: نعرف أن العدد المركب $z$ يمكن تمثيله بصورة $z = x + yi$، حيث $x$ هو الجزء الحقيقي للعدد $z$ و$y$ هو الجزء الخيالي.

2. شرط القيمة المطلقة: مع العلم أن $|z| = 1$، فإننا نعلم أن مربع القيمة المطلقة لـ$z$ (أو الناتج من جمع مربعات الأجزاء الحقيقية والخيالية) يساوي 1. بالتالي:
   $|z|^2 = |x + yi|^2 = x^2 + y^2 = 1$

3. البداية في العملية: نقوم بتطبيق العمليات الجبرية على التعبير $\frac{1}{1 – z}$، حيث نعرف أنه يمكننا كتابته على أنه $1 – z$ في المقام، وهذا ما سنبدأ به.

4. العمليات الجبرية على التعبير: نقوم بتحويل التعبير $\frac{1}{1 – z}$ إلى شكل يسهل حساب الجزء الحقيقي. لفعل ذلك، نقوم بضرب البسط والمقام في المجمع المركب المتشابه للمقام. في هذه الحالة، المجمع المتشابه هو $1 – x + yi$، حيث $x$ هو الجزء الحقيقي للـ$z$.

5. تقسيم العددين المركبين: بعد الضرب، نقوم بتقسيم العددين المركبين للحصول على الجزء الحقيقي من الناتج.

6. الحساب النهائي: نحسب الجزء الحقيقي للتعبير الناتج من العمليات الجبرية، وهو الذي يقابل العدد الحقيقي في الصورة المركبة.

7. الاستنتاج النهائي: نقدم الإجابة بشكل مفصل، مؤكدين على القوانين المستخدمة والخطوات التي اتخذناها لحل المسألة.

بهذه الطريقة، نكون قد قمنا بحل المسألة وإيجاد الجزء الحقيقي المطلوب.