حساب الجذور الكسرية لمعادلة رباعية (مسألة رياضيات)

لنتناول المعادلة الرياضية التي عُرضت:

$9x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + 15 = 0$

نبحث هنا عن عدد الجذور الرياضية الكسرية الممكنة لهذا المعادلة. يتوجب علينا أولاً أن نفحص إذا كانت الجذور الكسرية ممكنة. لتكون الجذور الكسرية ممكنة، يجب أن يكون المقام في الترميز الكسري موجبًا، وأن يكون البسط يقبل القسمة على المقام دون باقي.

لنستخدم القاعدة الرياضية التي تنص على أنه إذا كانت $\frac{p}{q}$ جذرًا للمعادلة الرياضية، فإن $p$ يقسم العدد المستقل في المعادلة، و $q$ يقسم العدد الرئيسي للمعادلة.

في حالتنا، يكون العدد المستقل هو 15، والعدد الرئيسي هو 9. لذلك، الجذور الممكنة للمعادلة يجب أن تكون من عوامل 15 وتقسمه، وفي الوقت نفسه تكون من عوامل 9.

العوامل الممكنة للعدد 15 هي: 1, 3, 5, 15
والعوامل الممكنة للعدد 9 هي: 1, 3, 9

الجذور الممكنة هي الجذور الكسرية التي تكون من نسب معاملات المعادلة الرياضية. لذا، نبدأ بتجريب القيم الممكنة للعوامل مع المعاملات ونراقب إذا كانت تحقق المعادلة.

قد يكون الحل معقدًا ويحتاج إلى تجربة متعددة للقيم، ولكن الهدف هو إيجاد القيم التي تحقق المعادلة.

سنستمر في تحليل المعادلة الرياضية $9x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + 15 = 0$ والبحث عن الجذور الرياضية الكسرية الممكنة. للقيام بذلك، سنستخدم قوانين وقواعد الجذور والعوامل.

أولاً، نتناول العوامل الممكنة للعدد 15: 1, 3, 5, 15، ونحاول تقسيم كل واحدة منها على 9 لنرى إذا كانت تحقق المعادلة.

1. عامل 1: نقوم بتجربة $x = \frac{1}{9}$، ونحسب قيمة المعادلة.
   $9\left(\frac{1}{9}\right)^4 + a_3\left(\frac{1}{9}\right)^3 + a_2\left(\frac{1}{9}\right)^2 + a_1\left(\frac{1}{9}\right) + 15 = \frac{1}{9} + \frac{a_3}{729} + \frac{a_2}{81} + \frac{a_1}{9} + 15$

2. عامل 3: نقوم بتجربة $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$، ونحسب قيمة المعادلة.
   $9\left(\frac{1}{3}\right)^4 + a_3\left(\frac{1}{3}\right)^3 + a_2\left(\frac{1}{3}\right)^2 + a_1\left(\frac{1}{3}\right) + 15 = \frac{1}{81} + \frac{a_3}{27} + \frac{a_2}{9} + \frac{a_1}{3} + 15$

3. عامل 5: نقوم بتجربة $x = \frac{5}{9}$، ونحسب قيمة المعادلة.
   $9\left(\frac{5}{9}\right)^4 + a_3\left(\frac{5}{9}\right)^3 + a_2\left(\frac{5}{9}\right)^2 + a_1\left(\frac{5}{9}\right) + 15 = \frac{625}{6561} + \frac{125a_3}{729} + \frac{25a_2}{81} + \frac{5a_1}{9} + 15$

4. عامل 15: نقوم بتجربة $x = 1$، ونحسب قيمة المعادلة.
   $9(1)^4 + a_3(1)^3 + a_2(1)^2 + a_1(1) + 15 = 9 + a_3 + a_2 + a_1 + 15$

نقوم بمراجعة النتائج لنرى إذا كانت أحد القيم تحقق المعادلة. إذا وجدنا قيمة تجعل المعادلة تكون صحيحة، فإن هذه القيمة تعتبر جذرًا للمعادلة. وبناءً على القيم المعطاة، يتوجب علينا استخدام الجبر والحساب لتحديد القيم الممكنة للمعاملات $a_3، a_2، a_1$ بناءً على الجذور الممكنة.