حساب التناظر البيني: $\dbinom{16}{5}$ (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي حساب قيمة التناظر البيني لـ 16 على 5، ويُعبَّر عن ذلك رياضيًا بالصيغة $\dbinom{16}{5}$.

لحل هذه المسألة، نستخدم الصيغة العامة للتناظر البيني وهي $\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$، حيث $n!$ تعبر عن عامل التناظر للعدد n وتُعرَّف على أنها الضرب التسلسلي للأعداد من 1 إلى n.

في هذه الحالة، نقوم بحساب القيمة عند استبدال القيم في الصيغة:

$\dbinom{16}{5} = \frac{16!}{5!(16-5)!}$

يتم حساب قيمة $5!$ (عامل التناظر للعدد 5) و$11!$ (عامل التناظر للعدد 11) ومن ثم يتم حساب الناتج النهائي بالقسمة:

$\dbinom{16}{5} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

بعد إجراء العمليات الحسابية، نحصل على القيمة النهائية للتناظر البيني وهي:

$\dbinom{16}{5} = 4368$

إذا كان عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة من 5 عناصر من بين مجموعة مكونة من 16 عنصرًا هو 4368.

لحساب قيمة $\dbinom{16}{5}$، نقوم بتطبيق مبدأ التناظر البيني، ونستخدم الصيغة العامة لتناظر الجمع:

$\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث:

• $n!$ هو عامل التناظر للعدد $n$ ويعبر عن الضرب التسلسلي للأعداد من 1 إلى $n$.
• $k!$ هو عامل التناظر للعدد $k$ ويمثل الضرب التسلسلي للأعداد من 1 إلى $k$.
• $(n-k)!$ هو عامل التناظر للفارق بين $n$ و $k$، ويُمثل الضرب التسلسلي للأعداد من 1 إلى $n-k$.

لحساب قيمة $\dbinom{16}{5}$، نقوم بتعويض القيم في الصيغة:

$\dbinom{16}{5} = \frac{16!}{5!(16-5)!}$

الخطوات الرئيسية للحساب:

1. حساب $16!$ (عامل التناظر للعدد 16).
2. حساب $5!$ (عامل التناظر للعدد 5).
3. حساب $(16-5)!$ (عامل التناظر للفارق بين 16 و 5).

ثم نقوم بالقسمة:

$\dbinom{16}{5} = \frac{16!}{5!(16-5)!}$

$\dbinom{16}{5} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

بعد إجراء العمليات الحسابية، نحصل على القيمة النهائية:

$\dbinom{16}{5} = 4368$

القوانين المستخدمة هي قوانين تناظر الجمع والقسمة، حيث نستخدم عوامل التناظر لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة من 5 عناصر من بين مجموعة مكونة من 16 عنصرًا.