حساب التعبير الرياضي: دالة وعكسها (مسألة رياضيات)

إذا كانت الدالة $f(x) = \frac{16}{5 + 3x}$، فنريد حساب قيمة التكافؤ التالية: $\left[f^{-1}(2)\right]^{-2}$.

لحساب قيمة $f^{-1}(2)$، نقوم بوضع $2$ في مكان $x$ في الدالة العكسية لـ$f$، أي $f^{-1}(x)$، ونحسب القيمة. لنقم بذلك:

$f^{-1}(2) = \frac{16}{5 + 3x} = 2$

الآن، لحساب القيمة المطلوبة $\left[f^{-1}(2)\right]^{-2}$، نقوم برفع الناتج السابق إلى الأساس -2. يمكننا تفسير ذلك على أنها عملية رفع العدد $f^{-1}(2)$ إلى التربيع ثم تقسيم 1 على الناتج. إذاً:

$\left[f^{-1}(2)\right]^{-2} = \frac{1}{\left[f^{-1}(2)\right]^2}$

الآن، نستخدم قيمة $f^{-1}(2) = 2$ لحساب الناتج:

$\left[f^{-1}(2)\right]^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

إذاً، قيمة التعبير $\left[f^{-1}(2)\right]^{-2}$ هي $\frac{1}{4}$.

بالطبع، دعونا نقوم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام الخطوات الرياضية المناسبة والقوانين المطبقة.

الدالة المعطاة هي $f(x) = \frac{16}{5 + 3x}$، ونريد حساب قيمة $\left[f^{-1}(2)\right]^{-2}$. لنقم بذلك بخطوات التفصيل التالية:

الخطوة 1: حساب قيمة $f^{-1}(2)$

نقوم بوضع $2$ في مكان $x$ في الدالة العكسية لـ$f$، أي $f^{-1}(x)$:

$f^{-1}(2) = \frac{16}{5 + 3x} = 2$

نقوم بحساب قيمة $x$ باستخدام الحسابات الرياضية المناسبة:

$5 + 3x = \frac{16}{2}$

$3x = \frac{16}{2} – 5$

$3x = 8 – 5$

$3x = 3$

$x = 1$

لذا، قيمة $f^{-1}(2)$ هي $x = 1$.

الخطوة 2: حساب $\left[f^{-1}(2)\right]^{-2}$

نستخدم القيمة التي حسبناها في الخطوة السابقة لحساب الناتج:

$\left[f^{-1}(2)\right]^{-2} = \frac{1}{\left[f^{-1}(2)\right]^2}$

$= \frac{1}{1^2}$

$= \frac{1}{1}$

$= 1$

إذاً، قيمة التعبير $\left[f^{-1}(2)\right]^{-2}$ هي $1$.

القوانين المستخدمة:

1. حساب الدالة العكسية: نستخدم الدالة العكسية لحساب قيمة $f^{-1}(x)$ عندما نعطيها قيمة $x$.
2. التربيع والتعويض: نقوم برفع القيمة $f^{-1}(2)$ إلى التربيع، ومن ثم نستخدم الناتج لحساب $\left[f^{-1}(2)\right]^{-2}$.
3. القوانين الأساسية للجبر: نستخدم قوانين الجبر البسيطة لحل المعادلات والتعويض في المتغيرات.