حساب التصغير لضرب المصفوفات (مسألة رياضيات)

لنفترض أن لدينا مصفوفتين $\mathbf{A}$ و$\mathbf{B}$ بحيث $\det \mathbf{A} = 2$ و $\det \mathbf{B} = 12.$ يطلب منا حساب قيمة $\det (\mathbf{A} \mathbf{B}).$

لنقم أولاً بفهم ما تعني هذه القيم. قيمة $\det \mathbf{A}$ تمثل التصغير الذي يحدث لحجم الفضاء الذي يُمثله $\mathbf{A}$ عندما يتم تطبيق $\mathbf{A}$ على وحدة الفضاء. بالمثل، قيمة $\det \mathbf{B}$ تمثل التصغير الذي يحدث عند تطبيق $\mathbf{B}$ على وحدة الفضاء.

الآن، نريد حساب $\det (\mathbf{A} \mathbf{B}).$ للقيام بذلك، يمكننا استخدام الخاصية التي تقول أن $\det (\mathbf{AB}) = \det \mathbf{A} \cdot \det \mathbf{B}.$

إذاً:
$\det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = \det \mathbf{A} \cdot \det \mathbf{B}.$

نستبدل القيم المعطاة:
$\det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = 2 \cdot 12 = 24.$

لذا، قيمة $\det (\mathbf{A} \mathbf{B})$ هي 24.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى النظر في بعض القوانين والخصائص المتعلقة بمعامل التصغير (الديترمينانت) وعمليات الضرب للمصفوفات. سنستخدم القوانين التالية:

1. قاعدة الضرب للمصفوفات:
   إذا كانت لدينا مصفوفتان $\mathbf{A}$ و$\mathbf{B}$ بأبعاد مناسبة للضرب، فإن مصفوفة الضرب $\mathbf{AB}$ يمكن حسابها عن طريق ضرب صفوف $\mathbf{A}$ في أعمدة $\mathbf{B}.$

2. خاصية التصغير (الديترمينانت) للضرب:
   لمصفوفتين $\mathbf{A}$ و$\mathbf{B}$، ينطبق $\det (\mathbf{AB}) = \det \mathbf{A} \cdot \det \mathbf{B}.$

الآن، لنقم بحل المسألة:

معطيات المسألة:
$\det \mathbf{A} = 2, \quad \det \mathbf{B} = 12.$

نريد حساب $\det (\mathbf{A} \mathbf{B}).$ نستخدم خاصية التصغير للضرب:
$\det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = \det \mathbf{A} \cdot \det \mathbf{B}.$

نقوم بتعويض القيم المعطاة:
$\det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = 2 \cdot 12 = 24.$

إذاً، قيمة $\det (\mathbf{A} \mathbf{B})$ هي 24.

تم استخدام قاعدة الضرب للمصفوفات لحساب $\mathbf{A} \mathbf{B}$، ومن ثم استخدمنا خاصية التصغير للضرب للحصول على قيمة $\det (\mathbf{A} \mathbf{B}).$