حساب التركيبات في مسألة الرواتب (مسألة رياضيات)

في مخبز، يتم بيع ثلاثة أنواع من الرواتب. كم عدد التركيبات المختلفة للرواتب التي يمكن لجاك شراؤها إذا اشترى مجموعًا من ست رواتب وضمن ذلك وجود واحد على الأقل من كل نوع؟

لنقم بحساب عدد التركيبات المختلفة باستخدام المبدأ الأساسي للعد والترتيب. يمكننا تقسيم هذه المسألة إلى حالات فردية ومن ثم جمع النتائج.

لدينا ثلاثة أنواع مختلفة من الرواتب، وعلينا شراء رواتب بمجموع قدره ست رواتب. للبداية، سنضمن شراء رغيف واحد على الأقل من كل نوع. إذا كنا قد اخترنا رغيفًا من النوع الأول، فإننا نحتاج إلى اختيار خمسة أنواع أخرى من بين الأنواع الثلاثة المتبقية لنكمل الست رغائف. هذا يعني أن هناك طرقًا 3 لاختيار النوع الأول وطرقًا 2 لاختيار النوع الثاني، وبصفة عامة، يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب عدد التركيبات:

$عدد\;التركيبات = عدد\;الأنواع \times (عدد\;الأنواع – 1) \times (عدد\;الأنواع – 2) \times \ldots$

نطبق هذه الصيغة في هذه المسألة كالتالي:

$عدد\;التركيبات = 3 \times 2 \times 1 = 6$

لكن هذا لا يشمل جميع الحالات، حيث يمكن أن يختار جاك نفس النوع من الرواتب لأكثر من رغيف واحد. لذا، يجب أن نأخذ في اعتبارنا هذه الحالة أيضًا.

نحن الآن بحاجة إلى حساب كمية الاختيارات التي قد يقوم بها جاك بخصوص نوع واحد. يمكنه شراء رغيف واحد، رغيفين، أو ثلاثة أرغفة من نفس النوع. لذا يمكننا تحديد الحالات على النحو التالي:

• اختيار رغيف واحد من نوع واحد: 3 طرق.
• اختيار رغيفين من نوع واحد: 3 طرق.
• اختيار ثلاثة أرغفة من نوع واحد: 3 طرق.

وبالتالي، يمكننا حساب عدد التركيبات الإجمالي بإضافة هذه الحالات:

$عدد\;التركيبات\;الإجمالي = عدد\;التركيبات + عدد\;الحالات\;لنفس\;النوع$

$عدد\;التركيبات\;الإجمالي = 6 + 3 = 9$

إذاً، يمكن لجاك شراء تسع تركيبات مختلفة للرواتب المختلفة، مع الأخذ في اعتباره وجود رغيف واحد على الأقل من كل نوع.

بالطبع، دعونا نقوم بفحص تفاصيل أكثر لحل هذه المسألة باستخدام مبدأ العد والترتيب ونشرح القوانين المستخدمة.

المسألة:
في مخبز، هناك ثلاثة أنواع من الرواتب. نريد حساب عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها لجاك شراء ست رغائف على الأقل ومن ضمنها رغيف واحد على الأقل من كل نوع.

الحل:
لحساب هذا العدد، نستخدم مبدأ العد والترتيب. نبدأ بحساب عدد الطرق التي يمكن بها اختيار نوع مختلف من الرواتب للرغيف الأول، ثم الرغيف الثاني، وهكذا.

1. اختيار الروائب:
   لاختيار نوع مختلف للرغيف الأول، لدينا 3 خيارات (لأن هناك 3 أنواع).

2. اختيار الروائب:
   بعد اختيار النوع الأول، ننتقل إلى الرغيف الثاني. لأننا نريد رغيف واحد على الأقل من كل نوع، لدينا 2 خيارات متبقية.

3. اختيار الروائب:
   بعد اختيار النوعين الأولين، ننتقل إلى الرغيف الثالث. لدينا الآن 1 خيار متبقي.

4. اختيار الروائب:
   الآن نحن قد اخترنا ثلاثة أنواع مختلفة من الرواتب. نريد شراء 3 رغائف إضافية، ولدينا فقط نوع واحد متبقي، لذلك لدينا خيار واحد فقط.

الحساب:
نقوم بضرب عدد الخيارات معًا للحصول على عدد إجمالي للتركيبات الممكنة.

$3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6$

القوانين المستخدمة:

1. مبدأ العد والترتيب:
   نستخدم هذا المبدأ لحساب عدد الطرق المختلفة لاختيار الرواتب بترتيب معين.

2. قاعدة الجمع:
   نستخدم قاعدة الجمع لحساب إجمالي عدد التركيبات الممكنة، حيث يمكننا اختيار نوع واحد من الرواتب للرغيف الثالث.

بهذا، نكون قد قمنا بفهم وحل المسألة باستخدام المبادئ الرياضية المذكورة.