حساب التراكيب الجمعية في الرياضيات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية التي نريد حلها هي: ما هو قيمة التعبير الرياضي $\dbinom{16}{15}$؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام صيغة الجمع المركب. وتعرف الصيغة بأنها $\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ حيث أن $n!$ تعني عامل الضرب من 1 إلى $n$.

الآن، نستخدم هذه الصيغة في حساب قيمة $\dbinom{16}{15}$ كما يلي:

نبدأ بحساب العوامل الموجودة في النواتج:

• $16! = 16 \times 15!$
• $15!$ تعتبر مشتركة في البسط والمقام وسيتم إلغاؤها.
• $16-15 = 1$، وهو الناتج في المقام.

بالتالي، يمكننا إلغاء العامل المشترك $15!$ في البسط والمقام، مما يعني أن الإجابة هي:

إذاً، قيمة التعبير الرياضي $\dbinom{16}{15}$ تساوي 16.

لحل مسألة $\dbinom{16}{15}$ بشكل أكثر تفصيلاً، يجب أن نستخدم مفهوم الجمع المركب وبعض القوانين الأساسية في الجبر القريبة من علم الكميات المشتركة والعوامل.

أولاً، دعونا نعرف قليلاً عن مفهوم الجمع المركب. في الرياضيات، يُمثل الجمع المركب طريقة لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة معينة من العناصر من بين مجموعة أكبر. في هذه الحالة، نستخدم الجمع المركب لحساب عدد الطرق التي يمكننا استخدامها لاختيار 15 عنصرًا من بين 16 عنصر.

الآن، بما أن $\dbinom{16}{15}$ تعني “16 اختيار 15″، فإننا نستخدم القانون التالي:
$\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
حيث:

• $n!$ تعبير عن عامل الضرب من 1 إلى $n$.
• $k!$ تعبير عن عامل الضرب من 1 إلى $k$.
• $(n-k)!$ تعبير عن عامل الضرب من 1 إلى $(n-k)$.

تطبيقاً على مسألتنا، فإننا نقوم بتعويض القيم في الصيغة:
$\dbinom{16}{15} = \frac{16!}{15!(16-15)!}$

الآن، نقوم بتبسيط هذا التعبير:

• $16!$ تعبير عن العامل من 1 إلى 16.
• $15!$ تعبير عن العامل من 1 إلى 15.
• $(16-15)! = 1! = 1$.

نلاحظ أن $15!$ في البسط والمقام يمكن إلغاؤها، لأنها مشتركة. كذلك، $(16-15)! = 1$.

بعد الإلغاء، يصبح التعبير:
$\dbinom{16}{15} = \frac{16 \times 15!}{15! \times 1} = \frac{16}{1} = 16$

لذا، القيمة النهائية للتعبير $\dbinom{16}{15}$ هي 16.

باختصار، قوانين الجمع المركب والعوامل تُستخدم في حسابات مثل هذه لتحديد عدد الطرق الممكنة لاختيار عناصر من مجموعة محددة.