حساب التراجع العكسي في الحسابات النمطية (مسألة رياضيات)

المعطيات: $8^{-1} \equiv 85 \pmod{97}$

الهدف: العثور على $64^{-1} \pmod{97}$ وتحديد القيمة المجهولة X.

الحل:
لفهم كيفية حساب $64^{-1} \pmod{97}$، يمكننا استخدام خاصية التوسيع الأوراق الخضراء لحساب تراجع الأسس. نبدأ بتمثيل $64$ كقوة لاسية للعدد $8$، وذلك بمراعاة أن $64 = 8^2$.

لدينا:
$64^{-1} \equiv (8^2)^{-1} \equiv 8^{-2} \pmod{97}$

وفقًا للمعطيات، نعلم أن $8^{-1} \equiv 85 \pmod{97}$، لذا:
$8^{-2} \equiv (8^{-1})^2 \equiv 85^2 \pmod{97}$

الآن، يتعين علينا حساب $85^2 \pmod{97}$:
$85^2 \equiv 7225 \equiv 74 \pmod{97}$

إذًا:
$64^{-1} \equiv 74 \pmod{97}$

القيمة المجهولة X في الموديولو هي 97.

لحل المسألة وايجاد $64^{-1} \pmod{97}$، يمكننا استخدام العديد من القوانين الحسابية المتقدمة، مع التركيز على استخدام خاصية التوسيع الأوراق الخضراء لحساب التراجع العكسي.

لنبدأ بالتفصيل:

1. تمثيل الأسس:
   نستخدم خاصية أن $64 = 8^2$، حيث أن $8$ هو العدد الذي تم توفير عنوانه $8^{-1} \equiv 85 \pmod{97}$. يمكننا كتابة $64^{-1}$ بصورة أخرى كـ $(8^2)^{-1}$.

2. قانون حساب التراجع العكسي:
   إذا كان $a \equiv b \pmod{m}$، فإن $a^{-1} \equiv b^{-1} \pmod{m}$.

   بمعنى آخر، إذا كان لدينا تكافؤ في الموديولو، يمكننا حساب التراجع العكسي بشكل مستقل.

3. تكرار القوانين:
   لدينا $8^{-1} \equiv 85 \pmod{97}$، ونستخدم هذا الناتج لحساب $8^{-2}$.

4. حساب التراجع العكسي:
   نستخدم قاعدة التراجع العكسي لحساب $8^{-2} \equiv (8^{-1})^2 \equiv 85^2 \pmod{97}$.

5. حساب التراجع العكسي النهائي:
   نحسب $85^2 \pmod{97}$ للحصول على الناتج النهائي.

بمراعاة هذه الخطوات، يمكننا الآن إعادة كتابة الحل بشكل موسع:

$64^{-1} \equiv (8^2)^{-1} \equiv 8^{-2} \equiv (8^{-1})^2 \equiv 85^2 \pmod{97}$

ثم نقوم بحساب $85^2 \pmod{97}$ للوصول إلى الناتج النهائي، الذي هو $74 \pmod{97}$.

بهذا، نكون قد استخدمنا مجموعة من القوانين الرياضية للوصول إلى التراجع العكسي بشكل دقيق وفعّال.