حساب الباقي لقوة كبيرة (مسألة رياضيات)

البحث عن الباقي عندما يتم قسم 6^50 على 215:

لحل هذه المسألة الرياضية، نحن بحاجة إلى فهم كيفية حساب الباقي عندما نقوم بقسم عدد كبير مثل 6^50 على عدد صغير مثل 215. لنقم بحساب هذا الباقي، يمكننا استخدام خوارزمية القوة المتبقية.

نبدأ بفهم أن 6^50 هو عبارة عن مضاعفة 6 بنفسه 50 مرة. يمكننا تقسيم هذا العمل إلى خطوات أصغر، على سبيل المثال، نحسب 6^2 ثم نضرب الناتج في 6 للحصول على 6^3، وهكذا.

الفكرة الرئيسية في حساب الباقي هي أننا نأخذ باقي القوة عند قسمها على العدد الذي نقوم بالقسمة عليه. في هذه الحالة، نقسم 50 على 4 (لأن باقي قسمة 50 على 4 هو 2) ونستخدم هذا الباقي لتحديد القوة المتبقية.

لذا، نحسب 6^2 للحصول على 36. ثم نرى كم مرة يمكننا ضرب 36 في 6 قبل أن نحصل على عدد يقارب 215. في هذه الحالة، نحتاج إلى ضرب 36 في 5 للحصول على 180. الآن، نأخذ باقي 50 عند قسمها على 4، وهو 2، لذا نحسب 6^2 مرة أخرى ونضرب الناتج في 180. الآن نأخذ الباقي عند قسم الناتج على 215 للحصول على الإجابة النهائية.

الآن دعونا نقوم بحساب ذلك:

(6^2)^25 = 36^25

36 * 180 = 6480

6480 mod 215 = 65

إذا كان باقي قسمة 6^50 على 215 هو 65.

لحل مسألة العثور على الباقي عند قسم $6^{50}$ على $215$، سنقوم بتفكيك العملية إلى خطوات صغيرة باستخدام القوانين الرياضية المعروفة. سنستخدم قاعدة التوزيع وقوانين الأسس في هذا الحل.

لنفكك العملية:

$6^{50} = (6^2)^{25} = 36^{25}$

ثم نقوم بتقسيم الناتج على $215$ ونجد الباقي. يمكننا استخدام القسمة لحساب القوة المتبقية. لنعمل ذلك، نحتاج إلى النظر في قوانين الأسس وقاعدة التوزيع.

$36^{25} = (35 + 1)^{25}$

نستخدم القاعدة التوزيع لتوسيع الفعل:

$36^{25} = \sum_{k=0}^{25} \binom{25}{k} 35^{25-k} \cdot 1^k$

حيث $\binom{25}{k}$ هو عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار $k$ من بين $25$، وهو أيضاً معروف باسم معامل الاختيار.

في هذه الحالة، نحتاج إلى النظر في القوة العالية من $35$ والقوة المنخفضة من $1$ لكل فردي $k$ ومن ثم نجمع النواتج. لكننا لا نحتاج إلى الحساب الفعلي لكل فردي $k$، بل نركز على الجزء الذي يساهم في تكوين الباقي عند القسمة على $215$.

آخذين في اعتبارنا أننا نستخدم القاعدة $a^b \mod m = (a \mod m)^b \mod m$، حيث \mod هو العملية التي تقوم بإعطاء باقي القسمة. سنستخدم هذه القاعدة لتبسيط العملية وتحسين الكفاءة.

بعد الحسابات، نحصل على:

$36^{25} \equiv 65 \mod 215$

وهكذا يكون الباقي هو $65$.