حساب الباقي لضرب أعداد كبيرة (مسألة رياضيات)

حسنًا، سأقوم بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية ومن ثم تقديم الحل بالتفصيل.

مسألة الحساب:
احسب قيمة التالي بناءً على العمليات الحسابية، حيث يتم ضرب الأعداد 2011، 2012، 2013، و 2014، ثم يتم حساب الباقي عند قسمة الناتج على 5.

الحل:
لحل هذه المسألة، نقوم بتنفيذ العمليات الحسابية بتسلسل. أولاً، نقوم بضرب الأعداد المعطاة:

$2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014$

لتجنب التعقيد في الحسابات، يمكننا تفكيك الأعداد إلى عوامل أساسية:

$2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014 = (2000 + 11) \cdot (2000 + 12) \cdot (2000 + 13) \cdot (2000 + 14)$

الآن، نقوم بتوسيع العبارة وضرب الأعداد معًا:

$(2000 + 11) \cdot (2000 + 12) \cdot (2000 + 13) \cdot (2000 + 14) = 2000^4 + (11 \cdot 2000^3 + 12 \cdot 2000^3 + 13 \cdot 2000^3 + 14 \cdot 2000^3) + \ldots$

بعد ذلك، نلاحظ أن جميع الأعداد في الجهة اليمنى من الناتج يحتوون على عوامل مشتركة تعادل $2000^3$، لذا يمكننا تجميعها:

$2000^4 + 56 \cdot 2000^3 + (\ldots)$

الآن، يمكننا حساب الباقي عند قسمة هذا الناتج على 5:

$(2000^4 + 56 \cdot 2000^3 + \ldots) \mod 5$

نعلم أن $2000^4$ يكون قابلًا للقسمة على 5 بدون باقي، لذا يمكننا تجاهل هذا الجزء. ثم نركز على الجزء الباقي من الناتج:

$(56 \cdot 2000^3 + \ldots) \mod 5$

يمكننا تجاهل الأعداد الباقية والتركيز على الجزء الذي يحتوي على 56:

$56 \cdot (2000^3 \mod 5)$

الآن، نقوم بحساب $2000^3 \mod 5$، حيث أن $2000 \mod 5 = 0$، إذاً:

$56 \cdot (0) = 0$

لذا، قيمة المتبقي عند قسمة الناتج على 5 هي 0.

بالطبع، سنقوم الآن بتقديم تفاصيل أكثر لحل المسألة وسنذكر القوانين والمفاهيم الرياضية المستخدمة في الحل.

لنحسب قيمة التعبير $2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014$ مع ملاحظة أننا نريد حساب الباقي عند قسمة هذا الناتج على 5. البداية تكون بتفكيك الأعداد واستخدام الخواص الجبرية والقوانين الحسابية. الخواص والقوانين المستخدمة تشمل:

1. توسيع العبارات:
   $2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014 = (2000 + 11) \cdot (2000 + 12) \cdot (2000 + 13) \cdot (2000 + 14)$

2. ضرب العوامل:
   $(2000 + 11) \cdot (2000 + 12) \cdot (2000 + 13) \cdot (2000 + 14) = 2000^4 + (11 \cdot 2000^3 + 12 \cdot 2000^3 + 13 \cdot 2000^3 + 14 \cdot 2000^3) + \ldots$

3. تجميع العوامل المشتركة:
   $2000^4 + 56 \cdot 2000^3 + (\ldots)$

4. حساب الباقي:
   $(2000^4 + 56 \cdot 2000^3 + \ldots) \mod 5$

5. حساب الباقي عند طرح قوة غير متوسطة:
   $2000^3 \mod 5$

6. التحليل الجبري للباقي:
   $2000^3 = (2000 \cdot 2000 \cdot 2000) \equiv (0 \cdot 0 \cdot 0) \equiv 0 \mod 5$

7. تطبيق القاعدة:
   $56 \cdot (0) \equiv 0 \mod 5$

باختصار، تم استخدام خواص التوسيع الجبري، ضرب العوامل، تجميع العوامل المشتركة، وحساب الباقي باستخدام القاعدة. يهمنا الاهتمام بالأرقام التي تؤثر في حساب الباقي والتعامل معها بشكل فعال.