حساب الباقي لتعبير رياضي باستخدام الأسس

عند قسمة $6^{(4n+3)} \times 6^n$ على 10، ما هو الباقي؟

الحل:

لحساب هذا النوع من المسائل، يمكننا أن نستخدم قاعدة أسس الأعداد.

أولاً، لنقم بتجميع الأسس نظريًا:
$6^{(4n+3)} \times 6^n = 6^{4n+3+n} = 6^{5n+3}$

الآن، يمكننا أن نفكك العدد $6^{5n+3}$ إلى جزئين: $6^{5n}$ و $6^3$، ثم نقوم بضربهما:
$6^{5n+3} = 6^{5n} \times 6^3$

الآن، لنركز على الجزء الثاني الذي هو $6^3$. يمكننا حسابه ببساطة:
$6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$

إذاً:
$6^{5n+3} = 6^{5n} \times 216$

الخطوة التالية هي حساب الباقي عند قسم $6^{5n} \times 216$ على 10. لفهم ذلك، نستخدم فكرة باقي القسمة. يمكننا أن نلاحظ أنه إذا كانت الأرقام تنتهي بصفر، فإن الباقي سيكون أيضاً صفر.

الآن، دعونا نركز على الجزء $6^{5n}$. نعلم أن الأس الخمسي سيؤدي إلى عدد كبير جدًا، ولكن لاحظ أن الأرقام الأخيرة لـ $6^1$ و $6^2$ هي 6 و 36 على التوالي. إذاً، يمكننا تكرار هذا النمط، وسنجد أن الأرقام الأخيرة لـ $6^{5n}$ تكون دائماً 6.

إذاً، الباقي عند قسم $6^{5n}$ على 10 هو 6.

الآن، لنحسب الباقي الكلي:
$6^{5n+3} = 6^{5n} \times 216$
$باقي\ 6^{5n+3}\ mod\ 10 = (6^{5n} \times 216)\ mod\ 10$

نعلم أن $6^{5n}\ mod\ 10$ هو 6 و $216\ mod\ 10$ هو 6 أيضًا.

إذاً:
$6^{5n+3}\ mod\ 10 = (6 \times 6)\ mod\ 10 = 36\ mod\ 10 = 6$

لذا، الباقي عند قسم $6^{(4n+3)} \times 6^n$ على 10 هو 6.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين الأسس وقوانين الحساب مع باقي القسمة. دعونا نفحص الخطوات بتفصيل أكثر:

1. تجميع الأسس:
   $6^{(4n+3)} \times 6^n = 6^{4n+3+n} = 6^{5n+3}$

2. تقسيم الأسس:
   نفكك $6^{5n+3}$ إلى قاعدتين، $6^{5n}$ و $6^3$.
   $6^{5n+3} = 6^{5n} \times 6^3$

3. حساب القيم:
   نحسب قيمة $6^3$ بسهولة: $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$.

4. تكرار نمط الأرقام الأخيرة:
   نستخدم نمط الأرقام الأخيرة للأس الخماسي ($6^{5n}$) ونجد أنه يتكرر بشكل منتظم 6، 36، 216، وهكذا. لذا، يمكننا أن نستنتج أن الأرقام الأخيرة هي 6 بشكل دائم.

5. حساب الباقي:
   الآن نقوم بحساب الباقي عند قسم $6^{5n}$ على 10، وهو 6.

6. حساب الباقي الكلي:
   نحسب الباقي الكلي عند قسم $6^{5n+3}$ على 10 باستخدام القاعدة التالية:
   $6^{5n+3}\ mod\ 10 = (6^{5n} \times 216)\ mod\ 10$
   نعلم أن $6^{5n}\ mod\ 10$ هو 6 و $216\ mod\ 10$ هو 6 أيضًا.

   إذاً:
   $6^{5n+3}\ mod\ 10 = (6 \times 6)\ mod\ 10 = 36\ mod\ 10 = 6$

قوانين الحساب المستخدمة:

• قوانين الأسس:
  $a^{m+n} = a^m \times a^n$
  هذه القاعدة تساعدنا في تجميع الأسس.

• قاعدة تقسيم الأسس:
  $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$
  نستخدم هذه القاعدة لتفكيك الأسس إلى جزئين.

• قاعدة باقي القسمة:
  إذا كانت $a \equiv b \mod m$ و $c \equiv d \mod m$، فإن $(a \times c) \equiv (b \times d) \mod m$.
  نستخدم هذه القاعدة لحساب الباقي عند قسم الأعداد.