حساب الباقي عند القسمة (مسألة رياضيات)

إذا كانت هناك ثلاثة أعداد صحيحة إيجابية تمتلك باقي القسمة على 12 قيم تتبقى 7، 9، و10 على التوالي، فما هو الباقي عند قسم مجموع هذه الأعداد الثلاثة على 12؟

لنقم بتعبير هذه المسألة بشكل رياضي:
فلنعتبر الأعداد الثلاثة بالترتيب a، b، و c. يتبقى a عند قسمها على 12 باقي 7، و b تترك باقي 9، و c تترك باقي 10. نستطيع التعبير عن هذه الشروط بالصيغ التالية:

$a \equiv 7 \pmod{12}$
$b \equiv 9 \pmod{12}$
$c \equiv 10 \pmod{12}$

الآن، نقوم بجمع هذه الأعداد الثلاثة للحصول على المجموع، ونسأل عن الباقي عند قسم هذا المجموع على 12:

$a + b + c$

لحل هذه المسألة، نقوم بإيجاد القيم الفعلية للأعداد a، b، و c بناءً على الباقي المعطى في كل حالة، ثم نقوم بجمعها وحساب الباقي عند قسم المجموع على 12. دعونا نقوم بذلك:

إذا كانت a تترك باقي 7، فإن أقل قيمة ممكنة لها هي 7.
بالمثل، إذا كانت b تترك باقي 9، فأقل قيمة ممكنة لها هي 9.
وأخيرًا، إذا كانت c تترك باقي 10، فأقل قيمة ممكنة لها هي 10.

الآن نقوم بجمع هذه القيم:

$a + b + c = 7 + 9 + 10 = 26$

والآن نسأل عن الباقي عند قسم 26 على 12. القسمة تعطي ناتجًا يساوي 2 مع باقي 2.

إذا كانت الإجابة هي 2.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، نبدأ بفهم القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل:

1. تعريف الباقي (Modulo): يمثل باقي قسمة عدد على عدد آخر. عندما نقول $a \equiv b \pmod{m}$، فإننا نعني أن الفرق بين $a$ و $b$ قابل للقسمة على $m$ دون باقي.

2. الجمع في النطاق (Modular Addition): عند جمع عددين بتصفير، يمكننا إيجاد الباقي بعد الجمع بنفس القاعدة. إذا كان $a \equiv c \pmod{m}$ و $b \equiv d \pmod{m}$، فإن $(a + b) \equiv (c + d) \pmod{m}$.

3. التعويض (Substitution): يمكن استبدال الأعداد في المعادلات بقيمها المعروفة.

المرحلة الأولى:
نبدأ بفهم المتغيرات:
$a \equiv 7 \pmod{12}$
$b \equiv 9 \pmod{12}$
$c \equiv 10 \pmod{12}$

نحسب قيم a، b، و c باستخدام أصغر القيم الممكنة التي تحقق هذه الشروط:

$a = 7$
$b = 9$
$c = 10$

المرحلة الثانية:
نقوم بجمع هذه الأعداد:
$a + b + c = 7 + 9 + 10 = 26$

المرحلة الثالثة:
نسأل عن الباقي عند قسم 26 على 12:
$26 \mod 12 = 2$

إذاً، الإجابة هي 2.

يتم استخدام القوانين المذكورة أعلاه لتسهيل عملية الحساب وتحليل الباقي عند قسم الأعداد. الجمع في النطاق يساعد في التحكم في الأعداد عند القسمة، وتعويض القيم يجعل من السهل فهم العلاقات بين الأعداد.